Inverse zu einer hermiteschen Matrix

17.03.2009, 19:14

eierkopf1

Inverse zu einer hermiteschen Matrix

Hallo!

Folgendes Problem:

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb C^{n \times n} \end{eqnarray*}$ und hermitesch. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} (I+iA) \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Ich habe keinen wirklichen Ansatz.
Aber ein paar Gedanken: Eine Matrix ist invertierbar:
... wenn der Zeilenrang=Spaltenrang voll ist.
... wenn die Determinante nicht 0 ist.

Wie kann ich das am besten angehen?

18.03.2009, 07:29

WebFritzi

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Die Aussage ist gleichwertig mit der Invertierbarkeit von A - iI. Berechne dazu

$\begin{eqnarray*} \|(A - i I)x\|^2 \end{eqnarray*}$

mit Hilfe des Skalarprodukts.

18.03.2009, 08:43

eierkopf1

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Danke für die Antwort!

Warum sind diese beiden Aussagen gleichwertig?

Ich habe mal versucht, die Norm zu berechnen:
$\begin{eqnarray*} \|(A - i I)x\|^2 = \langle (A-iI)x, (A-iI)x \rangle = \langle Ax-iIx, Ax-iIx \rangle \end{eqnarray*}$

und dann noch Skalare herausgezogen und umgeformt:

$\begin{eqnarray*} = \langle Ax, Ax \rangle + i\langle x, Ax \rangle -i\langle Ax, x \rangle - i\langle x, x \rangle \end{eqnarray*}$

Wie gehts hier weiter? Kann ich irgendetwas kürzen?

18.03.2009, 08:53

Ehos

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Bin zwar kein Mathematiker, aber ich versuch’s trotzdem mit indirektem Beweis

Zu zeigen ist, dass A+iI den Rang n hat. Dies ist gleichbedeutend mit der Tatsache, dass alle Eigenwerte L von A+iI ungleich null sind. Wir nehmen das Gegensteil an und führen dies zu einem Widerspruch.

Sei als L=0 Eigenwert. In der Eigenwertgleichung (A+iI)x=Lx müsste somit die rechte Seite verschwinden, also (A+iI)x=0. Dies schreiben wir als Ax=-ix. Dies würde bedeuten, dass die Zahl (-i) Eigenwert von A ist. Dies ist aber nicht möglich, weil die Eigenwerte hermitischer Matrizen sämtlich reel sind. w.z.b.w.

18.03.2009, 09:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von eierkopf1
Warum sind diese beiden Aussagen gleichwertig?

Denk mal drüber nach. Das ist trivial.

Zitat:

Original von eierkopf1
$\begin{eqnarray*} = \langle Ax, Ax \rangle + i\langle x, Ax \rangle -i\langle Ax, x \rangle - i\langle x, x \rangle \end{eqnarray*}$

Wie gehts hier weiter? Kann ich irgendetwas kürzen?

Ja, denn A ist hermitesch. Außerdem stimmt der letzte Term nicht. Ich finde es nicht schön, dass man dir jeden Schritt vorkauen muss. Überleg doch selber mal - wenn nötig, etwas länger.

@Ehos: Wenn man weiß, dass die Eigenwerte hermitescher Matrizen reell sind, wäre hier nichts zu zeigen. Offenbar weiß eierkopf das aber noch nicht, und so muss man das erstmal zeigen. Dies hier ist der Spezialfall, dass i zumindest kein Eigenwert ist.

18.03.2009, 09:54

Ehos

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Wir liefern noch den Beweis nach, dass die Eigenwerte hermitischer Matrizen reell sind, was bei meinem obigen beweis benutzt wird:

Multipliziert man die Eigenwertgleichung Ax=Lx „von rechts“ und „von links“ mit x, ergibt dies

(x|Ax)=(x|Lx)=L’(x|x)
(Ax|x)=(Lx|L)=L(x|x)

Im letzen Schritt haben wir L bzw. L’ aus dem Skalarprodukt herausgezogen, wobei L’ nach den allgemeinen Regeln für Skalarprodukte die konjugiert komplexe Zahl zu L ist.

Subtraktion beider Gleichungen ergibt auf der linken Seite null, weil A hermitisch ist, denn Hermitizität bedeutet ja gerade (Ax|x)=(x|Ax). Die Differenz beider Gleichungen ist also

0=(L’-L)*(x|x)

Das bedetet L=L’. Wenn eine Zahl L aber mit ihrer konjugierte Zahl L’ übereinstimmt, ist die Zahl reell.