umgang mit funktion 3. grades

17.03.2009, 20:35

dada

umgang mit funktion 3. grades

hallo zusammen,

ich bin unsicher im umgang mit gleichungen 3. grades und sitze gerade an einer aufgabe, sie lautet wie folgt:

Zitat:

in welchen punkten besitzt der graph von f(x) = 0.5x^4 - x^3 +0.5x^2 + x - 4 die steigung f'(x) = 1.

zuerst ist nun die erste ableitung f' (x) gesucht, die habe ich wie folgt gefunden:

f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + x + 1, diese 1. Ableitung muss nun f'(1) sein:
1 = 2x^3 - 3x^2 + x + 1 ¦ -1 ...

hier weiss ich nicht mehr weiter.

bei der untersuchung ausgezeichneter punkte von quadratischen funktionen habe ich es im grunde begriffen, es können linearfaktorzerlegung und mitternachtformel angewendet werden. gilt dies auch hier? und darf ich die einsen wirklich wegkürzen?

was ist hier zu tun, da es sich um eine gleichung dritten grades handelt? muss oder kann eine polynomdivision weiterhelfen, um die höhe der höchsten potenz um einen grad zu reduzieren? ich gehe eher davon aus, das letzteres die ausgangslage verfälschen würde, da die gleichung der 1. Ableitung die steigung ja bereits darstellt, bloss gar nicht so, wie ich es haben möchte!

ich bin froh um jede hilfe, beste grüsse,

dada.-

17.03.2009, 20:40

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ bedeutet das du in der gleichung der ersten ableitung alle x durch 1 ersetzen musst.

$\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ bedeutet nicht das $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ was du gemacht hast.

$\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ liefert dir den anstieg der tangente am graphen von f an der stelle $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ während du mit $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ die stelle x findest an der die erste ableitung den wert 1 hat.

17.03.2009, 20:46

dada

Auf diesen Beitrag antworten »

huch, ok. aber wenn ich das dann ausrechne, erhalte ich

f'(1) = 1, was bedeutet das?

ich muss doch zu einem resultat mit einem oder mehreren punkten P (x/y) kommen. muss ich die eins von oben in die grundfunktion einsetzen?

17.03.2009, 20:54

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

nein!

die erste ableitungs funktion $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ordnet jeder stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ den anstieg der tangente $\begin{eqnarray*} m_t \end{eqnarray*}$ an der stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu. d.h. das ergebnis in deinem fall von $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ ist eine reelle zahl.
das ergebnis $\begin{eqnarray*} f'(1)=1 \end{eqnarray*}$ ist richtig!!!

ein zusammenhang den man vielleicht kennen sollte ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=m_t=tan \alpha \end{eqnarray*}$

17.03.2009, 21:04

dada

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe nicht daran gezweifelt, dass dieses resultat, seine richtigkeit hat. meine frage ist nur, wie ich das einordne bzw wie ich nun auf alle weiteren resultate komme (aufgabe: in welchen punkten besitzt der graph von XY die steigung 1).

die lösung der aufgabe lautet:
p1 (0/-4); p2 (0.5/-3.47); p3 (1/-3).

soweit wie ich jetzt (danke!) bin, erhalte ich den p3, indem ich die vorhin erhaltene 1 in den graphen f (x) einsetze = -3 bzw y-wert und somt p3 (1/-3). wie komme ich aber zu den punkten p1 und p2??

17.03.2009, 21:21

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

die gleichung $\begin{eqnarray*} f'(x)=1 \end{eqnarray*}$ kann max. 3 lösungen haben da es eine ganzrationale funktion 3. grades ist. und in diesem fall gibt es auch 3 lösungen. d.h. finde alle x die die folgende gleichung erfüllen:

$\begin{eqnarray*} 1=2x^3 - 3x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

diese 3 lösungen sind die x-werte der Punkte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_3 \end{eqnarray*}$ .

17.03.2009, 21:37

dada

Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist klar, dass alle x die gleichung erfüllen müssen, und x ist ja die einzige variable, und diese gefundenen x sind dann wieder in die ursprungsfunktion einzusetzen um die dazugehörigen y-werte zu finden!

bloss, wie gehe ich vor, um die weiteren x zu finden? allein mit probieren komme ich da nicht
weit. gibt es kein gesetz?

17.03.2009, 21:46

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

für dich wäre wohl der richtige weg die polynomdivision. d.h. du "rätst" eine nullstelle und teilst dann durch das polynom der form $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$
dazu bringst du erstmal diese gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1=2x^3 - 3x^2 + x + 1 \end{eqnarray*}$

in die form das auf einer seite der gleichung die null steht also:

$\begin{eqnarray*} 0=2x^3 - 3x^2 + x \end{eqnarray*}$

welche wäre jetzt eine triviale (einfach zu sehende) nullstelle der umgeformten gleichung?

17.03.2009, 22:10

dada

Auf diesen Beitrag antworten »

die polynomdivision ist sehr schwierig und unübersichtlich, eine höchstpotente fehlerquelle. falls es andere wege gibt, bin ich gern dabei.

eine nullstelle der gleichung ist x = 1, da ich eins anstelle x in die gleichung einsetze und auf beiden seiten gleich null erhalte. aber, hatte ich diese eins nicht schon vorhin??

17.03.2009, 22:21

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

es gibt noch eine lösungsformel für ganzrationale funktionen 3. grades. diese kann ich die allerdings nicht erklären. allerdings ist die polynomdivision in dem fall simpel.
$\begin{eqnarray*} 0=2x^3 - 3x^2 + x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow x_0=0 \end{eqnarray*}$

nach polynomdivision (polynom: $\begin{eqnarray*} (x-0) \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} 0=2x^2-3x+1 \end{eqnarray*}$

und das ist leicht zu lösen oder nicht?

20.03.2009, 14:37

dada

Auf diesen Beitrag antworten »

och toll, ich glaub jetzt hab ich es begriffen, mit einigen höchstfälligen zusammenhängen dazu. danke für die konstruktive hilfe. also die polynomdivision ist an sich trivial, wenn jeder wert mit x ist und x eine nullstelle der ersten ableitung der funktion. ich kann auch x direkt ausklammern.

x (2x^2 -3x + 1).

Dann mit Mitternachtformel x_2 und x_3 ermitteln.

20.03.2009, 17:35

DOZ ZOLE

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dada
also die polynomdivision ist an sich trivial, wenn jeder wert mit x ist und x eine nullstelle der ersten ableitung der funktion. ich kann auch x direkt ausklammern.

Achtung!!!: das funktioniert nur wenn in jedem summanden ein x vor kommt.

Zitat:

Original von dada
Dann mit Mitternachtformel x_2 und x_3 ermitteln.

Das gilt nur wenn du die Polynomdivision bei einer ganzrationalen Funktion 3. grades durchführst, da denn das ergebnis eine ganzrationale Funktion 2. grades ist.

Neue Frage »

Antworten »

umgang mit funktion 3. grades

Verwandte Themen