Surjektivität + Injektivität |
18.03.2009, 09:00 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Surjektivität + Injektivität habe leider immer noch Verständnisschwierigkieten was das Beweisen von Surjektivität und Injektivität angeht. Folgend Aufgabe gilt es zu lösen: Sei K ein Körper und f : M22(K) -> K definiert durch ad-bc für alle M22(K). Ich würde jetzt danach vorgehen: Um die Surjektivität einer Abbildung f : M -> N zu beweisen, muss man mit einem beliebigen Element n N beginnen und ein Element m M explizit angeben, für das f(m) = n gilt. Ich setze für d K einen Wert ein z.B. 2 also hab ich nach den Vorgaben: a2-bc=2 = 3*2-4*1 Ist damit die Surjektivität bewiesen? Injektivität: Ich setze ein: 5*5-5*5=0 und 2*2-2*2=0 jetzt hab ich 2 Punkte die f liegen und das selbe Urbild haben, damit ist die Abbildung nicht Injektiv. soweit richtig, oder voll dran vorbei? Danke schon mall für eure Antworten. |
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18.03.2009, 10:40 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Surjektivität + Injektivität
Das ist keine Aufgabe, sondern eine Definition einer Abbildung, die du nicht ordentlich aufgeschrieben hast. Die Aufgabe ist es wohl, zu entscheiden, ob die Abbildung injektiv und/oder surjektiv ist.
Genau.
Nein. Was ist mit z.B. 3 oder pi? "Beweis per Beispiel" geht nicht.
Du meinst das richtige, aber das, was du schreibst, ist Bullshit. Überleg dir nochmal genau, wie du das aufschreibst. Erstens ist f eine Abbildung. In der kann nichts "liegen". Punkte liegen in Mengen, aber nicht in Abbildungen. Und zweitens haben die 2 Punkte (welche überhaupt?) nicht dasselbe Urbild. Die beiden Matrizen haben dasselbe ... . |
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18.03.2009, 11:58 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke erstmal für deine Antwort und sry für den Bullshit, beschäftige mich jetzt seit einer Woche wieder mit Mathe und bin noch nicht so fit. Also nochmal die Definition der Abbildung: Sei ein Körper und definiert durch für alle So jetzt also ein beliebiges Element aus dem Körper z.B. d?! Jetzt mus ich eine Matrix finden für die gilt richtig? Also ? Wenn das bis hier richtig ist wie dann weiter? Injektivität: folgt |
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18.03.2009, 13:59 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist richtig. Wie weiter? Meinst du, du kannst das nicht allein? Für d = 2 hast du's ja auch geschafft. |
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18.03.2009, 15:06 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Injektivität: daraus folgt das die Abbildung nicht injetiv ist!? Zu Surjektivität: leider weiß ich nicht so richtig weiter, aber noch eine fragen dazu kann ich anstelle von auch z.b. nehmen, oder sind die tatsächlich nur das ist wahrscheinlich eine sehr blöde frage bin mir aber etwas unsicher |
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18.03.2009, 15:19 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Man sollte sogar nehmen statt d, da d schon vorkommt. Du weißt von K nur, dass dort ein Nullelement und ein Einselement drin ist. Was sonst drin ist, ist völlig egal. Es geht nur darum, dass du ein beliebig wählst (wie viele Werte x dann tatsächlich annehmen kann, ist völlig egal) Zur Injektivität: Prinzipiell richtig, aber wer sagt, dass A und B nicht gleich sind (was ja der Fall wäre, wenn wäre) Also müssen a und b verschieden sein. Wie gut, dass ich oben schon zwei verschiedene Elemente des Körpers erwähnt habe. Wähle also |
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18.03.2009, 15:26 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
weiter muss für diese Definition der Abbildung folgendes bewiesen werden: 1.Für Alle gilt und 2.Für Alle gilt mein Ansatz zur Lösung: 1. = = = = jetzt für = ist ungleich also ist Für Alle gilt wiederlegt? |
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18.03.2009, 16:00 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
kleine Änderung: weiter muss für diese Definition der Abbildung folgendes bewiesen werden: 1.Für Alle gilt und 2.Für Alle gilt mein Ansatz zur Lösung: 1. = = = = jetzt für = ist ungleich also ist Für Alle gilt wiederlegt? |
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18.03.2009, 16:37 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
dann hab ich also aber so richtig weiß ich leider trotzdem nicht weiter wie ich nun die surjektivität beweise
heißt also wenn ich folgendes schreibe ist der Beweis Korrekt?: ist das aber nicht wieder ein Beweis anhand eines Beispiels? Das wäre doch dann nicht möglich. |
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18.03.2009, 16:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da denk nochmal scharf drüber nach.
Das macht doch keine Sinn. f ist auf Matrizen definiert. ad-bc ist aber keine Matrix.
Das ist ein Gegenbeispiel. Das ist also OK so. Wenn du zeigen willst, dass etwas nicht für alle [irgendwas] gilt, ist ein Gegenbeispil ausreichend. wenn du aber zeigen willst, dass etwas für alle [irgendwas] gilt, geht das natürlich nicht per Beispiel, denn dann hast du ja nur gezeigt, dass es für ein [irgendwas] gilt. |
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18.03.2009, 17:34 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Die Definition sagt doch aber: Sei ein Körper und definiert durch für alle so sollte das doch sin machen? wenn nicht, wie soll ich dann an diese sache ran gehen? |
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18.03.2009, 17:53 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Danke für den Hinweis, 1. ist damit dann bewiesen . Nun zu 2.: = = so und das wars damit wäre ungleich , oder bei mir ist wieder was falsch Danke für die Unterstützung |
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18.03.2009, 18:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ist Bullshit. Ich gehe mal davon aus, dass der Doppelpfeil bei dir "wird abgebildet auf" bedeutet. Das tut er sonst nicht. Benutze lieber \mapsto, also . Und dass f(ad-bc) keinen Sinn macht, hatte ich schon geschrieben. In die Klammern bei f( ) kommen nur Matrizen und keine Zahlen. ad - bc ist aber eine Zahl. |
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18.03.2009, 18:47 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ok, \mapsto kannte ich noch nicht was soll ich dann aber mit der definition und wenn das Bullshit ist, dann stimmt doch das was ich hier schon so gemacht hab auch alles nicht? bei dem Beweis das die Abbildung nicht injektiv ist zum Beispiel oder als ich berechnet habe das ist? wie müsste ich dann z.b. berechnen? einfach die Matrizen addieren? |
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19.03.2009, 10:42 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, so ist das kein Bullshit. Das ist eine wohldefinierte Funktion. Und dein letzter Beweis für die Nicht-Injektivität war OK. Pass mal auf. Die Funktion f bildet doch Matrizen auf Zahlen ab. Du nimmst dir eine Matrix A. Diese packst du in die Funktion rein. Das ist dann f(A). Und das ist wiederum eine Zahl, nämlich ad - bc, wenn die Matrix A die Einträge a,b,c,d hat. Also macht nur f(A), wobei A eine Matrix ist, Sinn. f(ad-bc) würde bedeuten, dass du versuchst, die Zahl ad-bc abzubilden. Aber das geht ja gar nicht, denn die Funktion f erwartet eine Matrix als Argument. Verstehst du jetzt, dass f(ad-bc) Bullshit ist? |
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19.03.2009, 11:08 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
heißt also ? und nicht ! bei der Berechnung von hab ich dann also auf beiden seiten eine Matrix zu stehen? und da ich beide Seiten auf die gleiche art und weise berechne sind sie auch gleich? zu Surjektivität: da wir festgestellt haben das mist ist hab ich dann also: und da ist hab ich ? |
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19.03.2009, 12:29 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau!
NEIN! f(AB) und f(A)f(B) sind keine Matrizen sondern Zahlen. Mensch Meier, das ist doch nicht so schwer.
Verstehe ich nicht. Du hast beide Seiten berechnet, und es kommt das gleiche raus (du hast es nur nicht gesehen).
Alles richtig. Du musst also nur noch a,b,c und d finden, so dass ad-bc = x gilt. |
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19.03.2009, 13:25 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also nochmal ist eine Matrix ist eine Zahl und die Definition ist der weg wie ich von der Matirx zur Zahl komme? heißt ich hab das schon ganz richtig gemacht als ich berechnet habe. jetzt noch mal das gleiche für nun ist doch aber ungleich Zur Surjektivität: damit kann ich jetzt a,b,c,d finden. ist das der Beweis der Surjektivität? |
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20.03.2009, 03:25 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja.
Wie gesagt: Man zeigt mit einem Gegenbeispiel, dass etwas nicht gilt. Wähle also Zahlen für a,b,c,d,e,f,g,h, so dass f(A + B) nicht gleich f(A) + f(B) ist.
Nein. Wenn jetzt z.B. x = 2 ist, dann definierst du a = (2 + bc)/d. Aber was sind dann b,c, und d. OK, die definierst du unten wiederum, aber mithilfe von a. Das geht natürlich nicht. Wähle einfach ein paar Zahlen für a,b und c, und wähle d, so dass ad-bc = x gilt. |
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20.03.2009, 11:18 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zu f(A+B)=f(A)+f(B)... danke das ist jetzt klar, wiederlegt durch ein beispiel. aber die surjektivität.... ich hab doch schon ganz am anfang zahlen eingesetzt, das geht ja nicht weil es für alle ad-bc gelten muss, sonst ist es kein beweis. Oder jetzt so das x=0 oder 1 ist, weil in einem Körper K ein Nullelement und ein Einselement drin sind, aber es kann ja auch noch alles andere drin sein... wäre dann 3*2-5*1=1 oder 3*2-6*1=0 hmmm... komm ich irgendwie nicht dahinter |
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20.03.2009, 16:52 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Tja, was soll man da noch machen... Es ist eben so einfach, dass man aufpassen muss, dass nicht der kleinste Tipp eigentlich schon die Lösung ist. Aber ich versuch es trotzdem mal. Du musst also zu beliebigem reellen x vier Werte a,b,c,d finden, so dass ad-bc = x gilt. Wähle z.B. b = 0. Wie kannst du jetzt z.B. a, c und d wählen? |
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21.03.2009, 14:21 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hmmm mit 1*d-0*c=x als relle zahl kann ich jede reelle Zahl darstellen, und das ist wohl der beweis... man hab mich echt ein wenig schwer getan... Schreiben würde man das dann folgender maßen: Die Abbildung f ist Surjektiv da ad-bc=x mit a=1 und b=0, 1*d-0*c=x jede reelle zahl x dargestellt werden kann? DANKE |
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21.03.2009, 14:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das stimmt zwar, aber jetzt geht es ums richtige Aufschreiben. Sei x gegeben. Nun gib mir eine 2x2-Matrix A, so dass f(A) = x gilt. |
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21.03.2009, 14:58 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
das wäre dann ist nach der Definition Aufgeschrieben: Wenn , dann gilt und es ist . Jedes besizt ein Urbild unter f. |
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21.03.2009, 15:01 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da denk nochmal drüber nach. Ansonsten ist alles toll richtig! Auch dein letzter Satz ist gut formuliert. |
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21.03.2009, 15:08 | sn00ze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
natürlich ist nicht sondern und ist also schreib ich wenn A=... dann f(A)=.... |
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21.03.2009, 15:27 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. Du kannst auch schreiben |
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