Surjektivität + Injektivität

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sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität + Injektivität
Hallo zusammen,

habe leider immer noch Verständnisschwierigkieten was das Beweisen von Surjektivität und Injektivität angeht. Folgend Aufgabe gilt es zu lösen:

Sei K ein Körper und f : M22(K) -> K definiert durch ad-bc für alle
M22(K).

Ich würde jetzt danach vorgehen:

Um die Surjektivität einer Abbildung f : M -> N zu beweisen, muss man mit
einem beliebigen Element n N beginnen und ein Element m M explizit
angeben, für das f(m) = n gilt.

Ich setze für d K einen Wert ein z.B. 2 also hab ich nach den Vorgaben: a2-bc=2 = 3*2-4*1

Ist damit die Surjektivität bewiesen?

Injektivität:

Ich setze ein: 5*5-5*5=0 und 2*2-2*2=0 jetzt hab ich 2 Punkte die f liegen und das selbe Urbild haben, damit ist die Abbildung nicht Injektiv.

soweit richtig, oder voll dran vorbei?

Danke schon mall für eure Antworten.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität + Injektivität
Zitat:
Original von sn00ze
Folgend Aufgabe gilt es zu lösen:

Sei K ein Körper und f : M22(K) -> K definiert durch ad-bc für alle
M22(K).


Das ist keine Aufgabe, sondern eine Definition einer Abbildung, die du nicht ordentlich aufgeschrieben hast. Die Aufgabe ist es wohl, zu entscheiden, ob die Abbildung injektiv und/oder surjektiv ist.


Zitat:
Original von sn00ze
Ich würde jetzt danach vorgehen:

Um die Surjektivität einer Abbildung f : M -> N zu beweisen, muss man mit
einem beliebigen Element n N beginnen und ein Element m M explizit angeben, für das f(m) = n gilt.


Genau.


Zitat:
Original von sn00ze
Ich setze für d K einen Wert ein z.B. 2 also hab ich nach den Vorgaben: a2-bc=2 = 3*2-4*1

Ist damit die Surjektivität bewiesen?


Nein. Was ist mit z.B. 3 oder pi? "Beweis per Beispiel" geht nicht.



Zitat:
Original von sn00ze
Injektivität:

Ich setze ein: 5*5-5*5=0 und 2*2-2*2=0 jetzt hab ich 2 Punkte die f liegen und das selbe Urbild haben, damit ist die Abbildung nicht Injektiv.


Du meinst das richtige, aber das, was du schreibst, ist Bullshit. Überleg dir nochmal genau, wie du das aufschreibst. Erstens ist f eine Abbildung. In der kann nichts "liegen". Punkte liegen in Mengen, aber nicht in Abbildungen. Und zweitens haben die 2 Punkte (welche überhaupt?) nicht dasselbe Urbild. Die beiden Matrizen haben dasselbe ... .
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für deine Antwort und sry für den Bullshit, beschäftige mich jetzt seit einer Woche wieder mit Mathe und bin noch nicht so fit.

Also nochmal die Definition der Abbildung:

Sei ein Körper und definiert durch für alle

So jetzt also ein beliebiges Element aus dem Körper z.B. d?!

Jetzt mus ich eine Matrix finden für die gilt richtig? Also ? Wenn das bis hier richtig ist wie dann weiter?


Injektivität:

folgt
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
Jetzt mus ich eine Matrix finden für die gilt richtig? Also ? Wenn das bis hier richtig ist wie dann weiter?


Das ist richtig. Wie weiter? Meinst du, du kannst das nicht allein? Für d = 2 hast du's ja auch geschafft.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität:









daraus folgt das die Abbildung nicht injetiv ist!?


Zu Surjektivität:

leider weiß ich nicht so richtig weiter, aber noch eine fragen dazu

kann ich anstelle von auch z.b. nehmen, oder sind die tatsächlich nur

das ist wahrscheinlich eine sehr blöde frage bin mir aber etwas unsicher unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte sogar nehmen statt d, da d schon vorkommt.


Du weißt von K nur, dass dort ein Nullelement und ein Einselement drin ist. Was sonst drin ist, ist völlig egal. Es geht nur darum, dass du ein beliebig wählst (wie viele Werte x dann tatsächlich annehmen kann, ist völlig egal)

Zur Injektivität: Prinzipiell richtig, aber wer sagt, dass A und B nicht gleich sind (was ja der Fall wäre, wenn wäre)

Also müssen a und b verschieden sein. Wie gut, dass ich oben schon zwei verschiedene Elemente des Körpers erwähnt habe. Wähle also

 
 
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

weiter muss für diese Definition der Abbildung folgendes bewiesen werden:

1.Für Alle gilt

und

2.Für Alle gilt

mein Ansatz zur Lösung:

1.


=

=

=

=


jetzt für




=


ist ungleich

also ist Für Alle gilt wiederlegt?
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

kleine Änderung:

weiter muss für diese Definition der Abbildung folgendes bewiesen werden:

1.Für Alle gilt

und

2.Für Alle gilt

mein Ansatz zur Lösung:

1.


=

=

=

=


jetzt für




=


ist ungleich

also ist Für Alle gilt wiederlegt?
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Man sollte sogar nehmen statt d, da d schon vorkommt.


Du weißt von K nur, dass dort ein Nullelement und ein Einselement drin ist. Was sonst drin ist, ist völlig egal. Es geht nur darum, dass du ein beliebig wählst (wie viele Werte x dann tatsächlich annehmen kann, ist völlig egal)


dann hab ich also aber so richtig weiß ich leider trotzdem nicht weiter wie ich nun die surjektivität beweise unglücklich

Zitat:
Original von tmo
Zur Injektivität: Prinzipiell richtig, aber wer sagt, dass A und B nicht gleich sind (was ja der Fall wäre, wenn wäre)

Also müssen a und b verschieden sein. Wie gut, dass ich oben schon zwei verschiedene Elemente des Körpers erwähnt habe. Wähle also



heißt also wenn ich folgendes schreibe ist der Beweis Korrekt?:







ist das aber nicht wieder ein Beweis anhand eines Beispiels? Das wäre doch dann nicht möglich.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
ist ungleich


Da denk nochmal scharf drüber nach.



Zitat:
Original von sn00ze
dann hab ich also


Das macht doch keine Sinn. f ist auf Matrizen definiert. ad-bc ist aber keine Matrix.


Zitat:
Original von sn00ze
heißt also wenn ich folgendes schreibe ist der Beweis Korrekt?:







ist das aber nicht wieder ein Beweis anhand eines Beispiels? Das wäre doch dann nicht möglich.


Das ist ein Gegenbeispiel. Das ist also OK so. Wenn du zeigen willst, dass etwas nicht für alle [irgendwas] gilt, ist ein Gegenbeispil ausreichend. wenn du aber zeigen willst, dass etwas für alle [irgendwas] gilt, geht das natürlich nicht per Beispiel, denn dann hast du ja nur gezeigt, dass es für ein [irgendwas] gilt.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Das macht doch keine Sinn. f ist auf Matrizen definiert. ad-bc ist aber keine Matrix.


Die Definition sagt doch aber:
Sei ein Körper und definiert durch für alle







so sollte das doch sin machen? wenn nicht, wie soll ich dann an diese sache ran gehen?
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
1.Für Alle gilt

und

2.Für Alle gilt



Danke für den Hinweis, 1. ist damit dann bewiesen smile .

Nun zu 2.:




=

=




so und das wars damit wäre ungleich , oder bei mir ist wieder was falsch unglücklich

Danke für die Unterstützung
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze



Das ist Bullshit. Ich gehe mal davon aus, dass der Doppelpfeil bei dir "wird abgebildet auf" bedeutet. Das tut er sonst nicht. Benutze lieber \mapsto, also .

Und dass f(ad-bc) keinen Sinn macht, hatte ich schon geschrieben. In die Klammern bei f( ) kommen nur Matrizen und keine Zahlen. ad - bc ist aber eine Zahl.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

ok, \mapsto kannte ich noch nicht

was soll ich dann aber mit der definition

und wenn das Bullshit ist, dann stimmt doch das was ich hier schon so gemacht hab auch alles nicht? bei dem Beweis das die Abbildung nicht injektiv ist zum Beispiel oder als ich berechnet habe das ist?

wie müsste ich dann z.b. berechnen? einfach die Matrizen addieren?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
was soll ich dann aber mit der definition

und wenn das Bullshit ist


Nein, so ist das kein Bullshit. Das ist eine wohldefinierte Funktion. Und dein letzter Beweis für die Nicht-Injektivität war OK. Pass mal auf. Die Funktion f bildet doch Matrizen auf Zahlen ab. Du nimmst dir eine Matrix A. Diese packst du in die Funktion rein. Das ist dann f(A). Und das ist wiederum eine Zahl, nämlich ad - bc, wenn die Matrix A die Einträge a,b,c,d hat. Also macht nur f(A), wobei A eine Matrix ist, Sinn. f(ad-bc) würde bedeuten, dass du versuchst, die Zahl ad-bc abzubilden. Aber das geht ja gar nicht, denn die Funktion f erwartet eine Matrix als Argument. Verstehst du jetzt, dass f(ad-bc) Bullshit ist? Augenzwinkern
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

heißt also ? und nicht !


bei der Berechnung von hab ich dann also auf beiden seiten eine Matrix zu stehen? und da ich beide Seiten auf die gleiche art und weise berechne sind sie auch gleich?

zu Surjektivität:

da wir festgestellt haben das mist ist hab ich dann also:


und da ist hab ich ?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
heißt also ? und nicht !


Genau!


Zitat:
Original von sn00ze
bei der Berechnung von hab ich dann also auf beiden seiten eine Matrix zu stehen?


NEIN! f(AB) und f(A)f(B) sind keine Matrizen sondern Zahlen. Mensch Meier, das ist doch nicht so schwer.


Zitat:
Original von sn00ze
und da ich beide Seiten auf die gleiche art und weise berechne sind sie auch gleich?


Verstehe ich nicht. Du hast beide Seiten berechnet, und es kommt das gleiche raus (du hast es nur nicht gesehen).


Zitat:
Original von sn00ze
zu Surjektivität:

da wir festgestellt haben das mist ist hab ich dann also:


und da ist hab ich ?


Alles richtig. Du musst also nur noch a,b,c und d finden, so dass ad-bc = x gilt.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

also nochmal smile

ist eine Matrix
ist eine Zahl
und die Definition ist der weg wie ich von der Matirx zur Zahl komme? heißt ich hab das schon ganz richtig gemacht als ich berechnet habe.

jetzt noch mal das gleiche für







nun ist doch aber ungleich

Zur Surjektivität:







damit kann ich jetzt a,b,c,d finden. ist das der Beweis der Surjektivität?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
also nochmal smile

ist eine Matrix
ist eine Zahl
und die Definition ist der weg wie ich von der Matirx zur Zahl komme? heißt ich hab das schon ganz richtig gemacht als ich berechnet habe.


Ja.


Zitat:
Original von sn00ze
jetzt noch mal das gleiche für







nun ist doch aber ungleich


Wie gesagt: Man zeigt mit einem Gegenbeispiel, dass etwas nicht gilt. Wähle also Zahlen für a,b,c,d,e,f,g,h, so dass f(A + B) nicht gleich f(A) + f(B) ist.


Zitat:
Original von sn00ze
Zur Surjektivität:







damit kann ich jetzt a,b,c,d finden. ist das der Beweis der Surjektivität?


Nein. Wenn jetzt z.B. x = 2 ist, dann definierst du a = (2 + bc)/d. Aber was sind dann b,c, und d. OK, die definierst du unten wiederum, aber mithilfe von a. Das geht natürlich nicht. Wähle einfach ein paar Zahlen für a,b und c, und wähle d, so dass ad-bc = x gilt.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

zu f(A+B)=f(A)+f(B)... danke das ist jetzt klar, wiederlegt durch ein beispiel.

aber die surjektivität.... ich hab doch schon ganz am anfang zahlen eingesetzt, das geht ja nicht weil es für alle ad-bc gelten muss, sonst ist es kein beweis. Oder jetzt so das x=0 oder 1 ist, weil in einem Körper K ein Nullelement und ein Einselement drin sind, aber es kann ja auch noch alles andere drin sein... wäre dann 3*2-5*1=1 oder 3*2-6*1=0

hmmm...

komm ich irgendwie nicht dahinter
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, was soll man da noch machen... Es ist eben so einfach, dass man aufpassen muss, dass nicht der kleinste Tipp eigentlich schon die Lösung ist. Aber ich versuch es trotzdem mal. Du musst also zu beliebigem reellen x vier Werte a,b,c,d finden, so dass ad-bc = x gilt. Wähle z.B. b = 0. Wie kannst du jetzt z.B. a, c und d wählen?
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm mit 1*d-0*c=x als relle zahl kann ich jede reelle Zahl darstellen, und das ist wohl der beweis... man hab mich echt ein wenig schwer getan...
Schreiben würde man das dann folgender maßen: Die Abbildung f ist Surjektiv da ad-bc=x mit a=1 und b=0, 1*d-0*c=x jede reelle zahl x dargestellt werden kann?
DANKE
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt zwar, aber jetzt geht es ums richtige Aufschreiben. Sei x gegeben. Nun gib mir eine 2x2-Matrix A, so dass f(A) = x gilt.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre dann


ist nach der Definition


Aufgeschrieben:

Wenn , dann gilt und es ist . Jedes besizt ein Urbild unter f.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sn00ze
und es ist


Da denk nochmal drüber nach. Ansonsten ist alles toll richtig! smile Auch dein letzter Satz ist gut formuliert.
sn00ze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von sn00ze
und es ist


Da denk nochmal drüber nach. Ansonsten ist alles toll richtig! smile Auch dein letzter Satz ist gut formuliert.


natürlich ist nicht sondern und ist

also schreib ich wenn A=... dann f(A)=....
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

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