stetig differenzierbar |
| 18.03.2009, 16:31 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| stetig differenzierbar Was ist der große Vorteil davon das eine Ableitung wieder stetig ist? Warum wird das überall gefordert? bzw kann jemand mal ein Beispiel machen wo es nicht so ist? schonmal vielen Dank für eure Hilfe |
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| 18.03.2009, 16:44 | Freddy Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eine diffbare Funktion ist immer stetig, aber eine stetige Funktion ist nicht immer diffbar. |
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| 18.03.2009, 16:47 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meine das die Ableitung wieder stetig ist |
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| 18.03.2009, 16:56 | Freddy Weierstraß | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mit der Ableitung berechnest du doch die Steigung der Funktion. Wenn eine Funktion diffbar ist, ist sie ja auch stetig. Also ist die Ableitung doch logischerweise ebenfalls stetig. Wäre die Steigung (Ableitung) an einer Stelle unstetig, so dürfte sie doch im Prinzip gar nicht existieren. |
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| 18.03.2009, 17:09 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ok Ableitung: Ableitung nicht stetig damit aht sicha uch meine dritte Frage erübrigt |
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| 18.03.2009, 17:20 | Herr Müller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Ableitung ist aber nicht korrekt! |
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| 18.03.2009, 17:24 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Warum? |
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| 18.03.2009, 17:31 | Herr Müller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Produktregel anweden! (f*g)'(x)=f'*g + f*g' Dann sollte es wohl klappen |
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| 18.03.2009, 17:37 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
und dann kommt das raus was ich geschrieben habe. aber darum geht es ja auch nicht Was ist der große Vorteil davon das eine Ableitung wieder stetig ist? Es wir zimmlich oft gefordert...zb bei Splines. Warum? |
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| 18.03.2009, 18:57 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Naja ich kann dir jetzt keine konkreten Beispiele nennen aber prinzipiel haben stetige Funktionen einige Eigenschaften, die sich als nützlich erweisen können.
Das ist eindeutig falsch ! Es gilt allerdings der Zwischenwertsatz für Ableitungen ... |
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| 18.03.2009, 20:26 | Heith | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber genau weist du nicht warum man das immer fordert? |
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| 19.03.2009, 10:07 | BErnhArd_P | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
naja weil man mit stetigen Funktionen viel mehr "machen" kann als mit nichtstetigen. Es gibt beispielsweise viele Sätze, bei denen stetigkeit voraussetung ist. Eine stetige Funktion hat eben viel mehr vorteile und eigenschaften (brauchbare) als eine unnstetige MfG |
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| 19.03.2009, 10:10 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei Funktionen, die nur von einer Variable abhängen, ist die Sache einfach: Jede Funktion f(x), die differnzierbar ist, ist auch stetig, wobei die 1.Ableitung ebenfalls stetig ist. Komplizierter wird die Sache bei Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen, z.B. f(x,y,). Hier muss man zwischen partieller und vollständiger Differenzierbarkeit unterscheiden: Ich erkläre das mal anschaulich: Eine Funktion f(x,y), die von zwei Variablen abhängt, kann man sich als „Gebirge“ über der x-y-Ebene vorstellen. Die partielle Differenzierbarkeit df/dx und df/dy bedeutet, dass ein Wanderer, der entlang der x-Richtung oder der y-Richtung wandert, keine „Knicke“ oder „Treppen“ entlang dieser Richtungen “sieht“. Es kann aber sein, dass ein anderer Wanderer, der den Weg des ersten Wanderers kreuzt, genau am Kreuzungspunkt einen „Knick“ oder „Treppen“ auf seinem Wege hat (also an demselben Punkt, wo der erste Wanderer keinen „Knick“ und keine „Treppe“ gesehen hat) Mit anderen Worten, die Existenz der partiellen Ableitungen df/dx und df/dy in zwei spezielle Richtungen x und y reicht nicht aus, um sagen zu können, dass die Ableitungen in alle Richtungen existieren. Vollständige Differenzierbarkeit an einem Punkt (xo,yo) bedeutet aber gerade, dass alle Wanderwege durch diesen Punkt aus beliebigen Richtungen keine „Knicke“ oder „Treppen“ aufweisen. Es gibt aber folgenden Satz: Ein Gebirge f(x,y) ist vollständig differenzierbar, wenn die partiellen Ableitungen df/dx und df/dy existieren und zusätzlich stetig sind. Das ist ein einfaches Kriterium. Beispiel: Das „Gebirge“ f(x,y)=y*x^2/(x^2+y^2) ist am Punkt (0,0) nicht vollständig differenzierbar, denn die partielle Ableitung df/dx existiert zwar, ist dort aber nicht stetig. |
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| 19.03.2009, 10:25 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentia...erbare_Funktion |
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| 19.03.2009, 11:11 | Nagato | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das einfachste Beispiel ist wohl die Wurzelfunktion im Defbereich [0,oo)
Wenn eine Funktion n-mal stetig diffbar ist bedeutet das, dass die Ableitung n-mal Differenzierbar ist und die nte Ableitung dazu noch stetig ist. Bei Splines wird es zb. gefordet, dass an den Stützpunkten die Ableitung der beiden Polynome n-ten Grades die Ableitungen bis nur (n-1) Ordnung gleich sind. Um eine gewisse "Glattheit" zu garantieren. Wenn jetzt zb die erste Ableitung der beiden nicht übereinstimmen würde, dann wäre dort ein Knick. Und um das überhaupt zu fordern muss man ja erstmal sicherstellen das die Ableitungen überhaupt existieren. Warum die n-te Ableitung stetig sein muss ist mir jetzt nicht genau klar. Bei Polynomen ist es ja immer so. BErnhArd_P hat ja schon gesagt das stetige Funktionen viel nützlicher sind als unstetige. Stell dir doch einfach vor das du eine Kurve hast die ein Massneteilchen im Raum beschreibt. Wenn jetzt die Ableitung nicht stetig ist ( also die Geschwindigkeit) kann man keine Aussagen über die Geschwindigkeit machen. bzw über das verhalten des Teilichens. Es würde von einem Punkt auf den nächsten die Richtung extrem ändern können oder auch den Betrag der Geschwindigkeit. Aber n wirkliches Beispiel wo man die Stetigkeit der n-ten Ableitung benötigt fällt mir nicht ein. |
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| 19.03.2009, 12:36 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
All das ist unglaublicher Unsinn. Leute, wenn ihr euch nicht sicher seid, haltet doch besser den Mund. Unglaublich, wie viele Falschinformationen hier auf einer Seite vorkommen. |
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