Induktion/ k-te Ableitung

18.03.2009, 16:52

Kilian1988

Induktion/ k-te Ableitung

Hi, kann mit jemand den einen Rechenschritt erklären?

Bei (1) wird die n-te Ableitung ja nochmal abgeleitet, um die (n+1)-te zu erhalten.

Bei (2) wurde die Produktregel angewendet

Bei (3) wurde e^x ausgeklammert

Bei (4) wurde ein Summenzeichen rausgezogen (wieso darf man das machen?)

Bei (5) findet eine Indexverschiebung (?) statt?

Bei (6) weiss ich nicht, wie man das so zusammenfassen konnte, ohne das sich irgendwie was verändert.

Würde mich um eine kurze Erläuterung der letzten 3 Schritte freuen!

18.03.2009, 19:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion/ k-te Ableitung

Zitat:

Original von Kilian1988
Bei (4) wurde ein Summenzeichen rausgezogen (wieso darf man das machen?)

Weil nun mal $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~hugo + \sum_{k=0}^n~otto = \sum_{k=0}^n~(hugo + otto) \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

Allerdings frage ich mich, wo du das aufgegabelt hast. Die Schritte 4 und 5 sind ja völlig verunglückt. Richtig ist (ich lasse mal das e^x weg):

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^{n-1}~\binom n k g^{(k+1)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n}{k-1} g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\left(\binom n k + \binom{n}{k-1} \right) g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{n+1}~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) \end{eqnarray*}$

So wird ein Schuh draus. smile

EDIT: 2 Fehler korrigiert.

18.03.2009, 21:34

Kilian1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen DANK!!!!!

18.03.2009, 21:49

Kilian1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, hätte doch noch eine Frage: Wovon hängt es ab, ob du bei den Summen k=0 oder k=1 machst?

Und den letzten Rechenschritt könntest du den nochmal erläutern? Wie genau verrechnest du das g(x) dort?

19.03.2009, 08:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe die Fragen nicht so ganz. Ich mache Umformungen, die schlicht und ergreifend stimmen. Mir scheint, du bist mit der Wirkungsweise des Summenzeichens nicht richtig vertraut.

19.03.2009, 09:47

Kilian1988

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion/ k-te Ableitung

Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Das ist ja quasi die Ausgangsform nach dem anweden der Produktregel.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^{n-1}~\binom n k g^{(k+1)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Nun ziehst du links doch ein $\begin{eqnarray*} g^{(0)}(x) \end{eqnarray*}$ aus der Summe und dadurch fängt due Summe nicht mehr bei k=0 an, sondern bei k=1.
Rechts ist es ein $\begin{eqnarray*} g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$ (Hast du dich mit n+1 verschrieben?), aber warum verschiebt es sich hier auf n-1?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n}{k-1} g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Mit dem Schritt habe ich ehrlich gesagt meine Probleme... Durch was verschiebst du hier den Laufindex zu k=1 und wieso darfst du was am Binomialkoeffizienten ändern?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\left(\binom n k + \binom{n}{k-1} \right) g^{(k)}(x) + g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier fasst du ja einfach nur die Summen zusammen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) + g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier hast du eine Rekursionsformel angewendet.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{n+1}~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier hast du dann das g(x) und das $\begin{eqnarray*} g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$ wieder in die Summe reingezogen. Ist das g(x) für das k verantwortlich und $\begin{eqnarray*} g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$ für das n?

Und ja du hast Recht, Summenzeichen und Binomialkoeffizienten machen mir Angst traurig

21.03.2009, 16:11

Killian1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner 'ne Idee? traurig

21.03.2009, 18:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Induktion/ k-te Ableitung

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

Original von klarsoweit

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^n~\binom n k g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Das ist ja quasi die Ausgangsform nach dem anweden der Produktregel.

So ist es.

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=0}^{n-1}~\binom n k g^{(k+1)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Ich habe aus der ersten Summe den Summanden für k=0 (das ergibt das $\begin{eqnarray*} g^{(0)}(x) \end{eqnarray*}$ ) rausgezogen. Daher beginnt diese Summe dann bei k=1. Aus der zweiten Summe habe ich den Summanden für k=n (das ergibt das $\begin{eqnarray*} g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ ) rausgezogen. Daher endet diese Summe dann bei k=n-1.

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom n k g^{(k)}(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n}{k-1} g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Mit dem Schritt habe ich ehrlich gesagt meine Probleme... Durch was verschiebst du hier den Laufindex zu k=1 und wieso darfst du was am Binomialkoeffizienten ändern?

Bei der zweiten Summe verschiebe ich den Laufindex k um 1 nach oben. Sie beginnt also dann bei k=1 und endet bei k=n. Als Ausgleich muß ich von jedem k im Summandenterm eine 1 subtrahieren.

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\left(\binom n k + \binom{n}{k-1} \right) g^{(k)}(x) + g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier fasst du ja einfach nur die Summen zusammen.

Ja. Wobei ich noch einen Schreibfehler gemacht habe. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\left(\binom n k + \binom{n}{k-1} \right) g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) + g^{(k+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier hast du eine Rekursionsformel angewendet.

Sozusagen, nämlich die rekursive Formel für die Bildung der Binomialkoeffizienten. Wiederum mit Schreibfehler. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} = g(x) + \sum_{k=1}^n~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) + g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Kilian1988

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{n+1}~\binom{n+1}{k} g^{(k)}(x) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich das g(x) und $\begin{eqnarray*} g^{(n+1)}(x) \end{eqnarray*}$ wieder in die Summe reingezogen. Das sind nämlich die Summanden für k=0 und k=n+1.

Zitat:

Original von Kilian1988
Und ja du hast Recht, Summenzeichen und Binomialkoeffizienten machen mir Angst traurig

Wer vor lauter Angst wie das Kaninchen vor der Schlange erstarrt, wird gefressen. Augenzwinkern

21.03.2009, 19:22

Killian1988

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr!

Jetzt ist es mir alles klar geworden Tanzen

Neue Frage »

Antworten »

Induktion/ k-te Ableitung

Verwandte Themen