Halbwertszeit JOd 131

18.03.2009, 17:43

onnsen

Halbwertszeit JOd 131

Hallo,

Ich habe ein kleines Problem, mein Nachhilfeschüler schreibt morgen eine wichtige Mathearbeit unter anderem auch über Halbwertszeiten in Zusammenhang mit Zinseszins Aufgaben.

Bei folgender Aufgabe kamen wir nicht weiter, auch nach durchsuchen des i-nets leider nicht.

Die Halbwertszeit von Jod-131 beträgt 8,2d . Wenn von 500g Jod nur noch 75 g vorhanden sind, wie viele Tage sind vergangen?

Die Lösung sollte 28,7 sein . Durch Annäherung auch einleuchtend, denn : 500,250,125,62 nach 4 Halbierungen , also 4 * 8,2 = 32,8 kommt also ca. hin.

Nun, mein Ansatz war die Formel : $\begin{eqnarray*} K_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} K_{0} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} q^{n} \end{eqnarray*}$

für Kn = 75 ; Ko=500 , für q=0,5 . n durch logarithmus errechnen . komme aber überhaupt nicht weiter. Nun sitz ich schon echt lange dran und mir fällt nicht mehr ein . Wäre für einen Lösungsweg sehr dankbar.

Also vielen Dank schonmal

18.03.2009, 18:35

klarsoweit

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RE: Halbwertszeit JOd 131

Zitat:

Original von onnsen
Nun, mein Ansatz war die Formel : $\begin{eqnarray*} K_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} K_{0} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} q^{n} \end{eqnarray*}$

Die richtige Formal ist ja auch: $\begin{eqnarray*} K_n = K_0 \cdot (\frac 1 2)^{n / Halbwertszeit} \end{eqnarray*}$ smile

18.03.2009, 18:39

sulo

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RE: Halbwertszeit JOd 131
Was hast Du denn raus?

Ich habe auch etwas anderes als die angegebene Lösung raus ...

LG sulo

18.03.2009, 18:45

onnsen

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Gar nichts bekomme ich raus, bis jetzt nur irgendwelche minus werte . Ich finde auch leider meinen Fehler nicht . Da er morgen schreibt, wäre ich über ein Lösungsweg echt dankbar.

das mit der anderen Formel also 1/2 ^ n/Halbwert bringt mich auch nicht weiter.

Falls kein Lösungsweg smile

Vlt einen Teil der Rechnung . Aber die Lösung wäre schon ne feine Sache.

Aber schonmal vielen Dank für die Antworten

18.03.2009, 18:47

sulo

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Weißt Du denn, wie man die Formel umstellt, um n zu berechnen?

edit: Ich schreibe sie Dir sonst auf...
Ich habe das mal graphisch dargestellt und würde sagen, meine Lösung stimmt, Deine angegebene nicht ...

18.03.2009, 22:59

onnsen

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Komm grad vom Sport , naja muss er morgen mal sehen wie er damit klar kommt.

Ja also die Formel müsste doch so lauaten:

n= (LgKn/LgK0) / lgq

oder ? mhm weiter weiß ich auch nicht , stimmt das überhaupt? Würd mich aber auch persönlich nochmal interessieren wie denn der Rechenweg ist.

19.03.2009, 00:34

mYthos

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Zitat:

Original von onnsen
...
Ja also die Formel müsste doch so lauaten:

n= (LgKn/LgK0) / lgq

oder ? mhm weiter weiß ich auch nicht , stimmt das überhaupt? Würd mich aber auch persönlich nochmal interessieren wie denn der Rechenweg ist.

Stimmt so nicht, weil du die Logarithmengesetze nicht (richtig) beachtet hast.

$\begin{eqnarray*} \log \frac{a}{b} \neq \frac{\log a}{\log b} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} \log \frac{a}{b} = \log a - \log b \end{eqnarray*}$

Dein anderes Problem ist, dass du mit der Halbwertszeit nicht vertraut bist bzw. diese nicht umsetzen kannst. Das q in deiner Formel ist keinesfalls 1/2. Die Hälfte bezieht sich nämlich nicht auf den Faktor, sondern auf die Menge des zerfallenen Stoffes.
Anstatt sich nun wieder eine unverständliche Formel mehr merken zu müssen, bauen wir die gegebene Halbwertszeit doch lieber gleich in die Zerfallfunktion ein und berechnen damit q richtig:

$\begin{eqnarray*} K_n = K_0 \cdot q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_0 = 1, \ \ K_n = 0.5, \ \ t_H = 8.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0.5 = q^{8.2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to q \end{eqnarray*}$

Danach kann aus der nun bekannten Zerfallsfunktion mit den Werten 500 g und 75 g die zugehörige Zeit t ermittelt werden.

Die von dir angegebene Lösung, die sich einstellen soll, ist nicht zutreffend, tatsächlich ist die Zeit geringer. Überdies hast du dich auch mit deiner Schätzung vertan, denn die Menge von 62,5 g ergeben sich bereits nach drei Halbierungen. Die tatsächlich vergangene Zeit muss demnach geringer als 3*8.2 = 24.6 d sein und das ist sie schließlich auch.

mY+

19.03.2009, 10:57

sulo

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@mYthos

Ich kann den Ansatz von onnsen bezüglich des Wertes für q schon nachvollziehen, weil ich ihn auch so schon mehrfach gesehen habe.

Der Gedanke ist: q ist der Faktor für den Zerfall pro Zyklus, 1 n ist die die Halbwertszeit.
q = 0,5
1 Zyklus = 1 n = 8,2 Tage

Man errechnet n, in diesem Fall: n = 2,7369...
Dann wird dieser Wert mit 8,2 multipliziert.

Führt dieser Weg nicht auch zum richtigen Ergebnis?

LG sulo

19.03.2009, 11:44

onnsen

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Die Lösung von sulo habe ich heute auch rausbekommen .

log 75/500 = n * log 0,5

dann komme ich auch auf 2,7...

Nun auch meine Frage , ist das korrekt ? erscheint mir wieder logisch smile

Vielen Dank für eure Mühe.

19.03.2009, 11:54

mYthos

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Zitat:

Original von sulo
...
Führt dieser Weg nicht auch zum richtigen Ergebnis?
...

Ja, das führt er, dieser ist ebenfalls vollkommen in Ordnung. Man kann die Zeiteinheit entweder in Tagen (d) einrechnen (was hauptsächlich üblich ist) oder eben in Zyklen, die jeweils die halben Zerfallsmengen zeitigen. Da das Rechnen mit diesen normalerweise relativ unhandlich ist, wird man nur in bestimmten Fällen so vorgehen.

Im Beitrag von onnsen könnte eine solche Überlegung vielleicht zu erkennen sein, wenn er mit n die Anzahl "der Halbierungen" gemeint hat. Vielleicht. Big Laugh

mY+

19.03.2009, 11:58

mYthos

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Zitat:

Original von onnsen
...
log 75/500 = n * log 0,5

dann komme ich auch auf 2,7...

Nun auch meine Frage , ist das korrekt ? erscheint mir wieder logisch smile

...

Das kommt darauf an, was du mit den 2,7 .. nun anstellst. Was stellt diese Zahl denn dar?

Siehe die letzten Beiträge von sulo und mir.

mY+

19.03.2009, 11:58

sulo

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Danke, mYthos. smile

30.03.2011, 18:52

David Kluge

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Zerfallsberechnung
Hallo allerseits,

Mein Ansatz ist folgender:

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt} \end{eqnarray*}$ ~ $\begin{eqnarray*} N(t) \end{eqnarray*}$

Also die Änderung der Stoffmenge ist proportional zur Stoffmenge. Und sie nimmt ab; Also die Steigung ist negativ.

$\begin{eqnarray*} \frac{dN}{dt} = -k \cdot N(t) <=> \frac{1}{N} \cdot dN = -k \cdot dt \end{eqnarray*}$

Kurz auf beiden Seiten integrieren. Die Integrationskonstanten fass ich zusammen zur einer

$\begin{eqnarray*} ln(N(t)) = -k \cdot t + C \end{eqnarray*}$

Beide Seiten exponentieren (keine Ahnung ob das so heißt. Herleitung müsst ich jetzt überlegen und wär ausführlich lange aber das geht schon was hier passiert.)
exp(y) ist jetzt ist Exponentialfunktion.

$\begin{eqnarray*} <=>N(t) = exp(-k \cdot t + C) <=>N(t) = exp(-k \cdot t) \cdot exp(C) \end{eqnarray*}$

exp(C) ist jetzt natürlich auch konstant da C konstant. Die neue Konstante nenn ich vorübergehend C'.
Jetzt ist aber zur Zeit t=0 d ja die Menge an Iod131-Teilchen 500g also quasi die Anfangsteilchenmenge. Ich nenn sie mal N_0

$\begin{eqnarray*} <=>N(t) = C' \cdot exp(-k \cdot t) \end{eqnarray*}$
----------
Anfangsbedingung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} N(t=0)=N_0 = C' \cdot exp(-k \cdot 0) = C' \cdot exp(0) = C' \cdot 1 = C' <=> N_0 = C' \end{eqnarray*}$
----------
TADAA!! DIE Formel:

$\begin{eqnarray*} => N(t) = N_0 \cdot exp(-k \cdot t) \end{eqnarray*}$

So das war Vorgeplänkel um die Formel zu erhalten.
Jetzt haben wir ja noch ne zweite Angabe die Halbwertszeit. Damit könnten wir k ermitteln.
Also zur Zeit t_halb ist die Menge an Teilchen halb so groß, wie zu Anfang.

$\begin{eqnarray*} N(t=t_{halb})=\frac{N_0}{2}=N_0 \cdot exp(-k \cdot t_{halb}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>\frac{1}{2}=exp(-k \cdot t_{halb}) \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seite können wir jetzt den Logarithmus anwenden (quasi das Gegenteil vom exponentieren).
$\begin{eqnarray*} <=>ln(\frac{1}{2})=-k \cdot t_{halb} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>-\frac{ln(\frac{1}{2})}{t_{halb}}= k =: k_{Iod131} \end{eqnarray*}$

Ja nun kann man ersteinmal mit den gegebenen Daten das k ausrechnen oder wenn mal völlig freakig ist, die Formel für k in DIE Formel einsetzen um eine NOCH bessere Formel zu erhalten ;-D. Ne aber ich rechne das k aus und nenne mein Ergebnis k_Iod131.

Somit spezifiziere ich DIE Formel. Sie ist nicht mehr allgemein sondern nur für Iod131 gültig.

$\begin{eqnarray*} => N(t) = N_0 \cdot exp(-k_{Iod131} \cdot t) \end{eqnarray*}$

Ja nun haben wir alle Daten außer halt die Zeit t. Wir können also nach t umstellen.
Man kann aber auch die Formel nach was anderem umstellen falls z.B. die Zeit gegeben ist aber ein anderer Wert in der Formel gesucht ist.

$\begin{eqnarray*} <=> (\frac{N(t)}{N_0}) = exp(-k_{Iod131} \cdot t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <=>ln (\frac{N(t)}{N_0}) = -k_{Iod131} \cdot t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <=>-\frac{ln (\frac{N(t)}{N_0})}{k_{Iod131}} = t \end{eqnarray*}$

Ja und da es doch so gut mit Copy/Paste hier klappt. Setze ich die Formel für k_Iod131 noch da ein. Sieht ganz schön krank aus ;-D

$\begin{eqnarray*} <=>-\frac{ln (\frac{N(t)}{N_0})}{-\frac{ln(\frac{1}{2})}{t_{halb}}} = t \end{eqnarray*}$

Man kanns aber vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} <=>t_{halb} \cdot \frac{ln (\frac{N(t)}{N_0})}{ln(\frac{1}{2})} = t \end{eqnarray*}$

So nun nur noch Werte einsetzen und ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} 8,2d \cdot \frac{ln (\frac{75g}{500g})}{ln(\frac{1}{2})} = t \end{eqnarray*}$

Ich hoff ihr dürft Taschenrechner benutzen sonst würd ichs so stehen lassen.
Falls der Taschenrechner aber erlaubt ist, hab ich das da raus:

t= 22,4431...d

Jetzt noch wie in der Schule der Antwortssatz:

Nach inetwa 22 einhalb Tagen ist die Menge an Iod131 auf 75g gesunken.

By the way wegen Japan und der Runterspielung der mit Iod131 kontaminierten Leuten:
Mich würd mal interessieren zuwas Iod131 zerfällt und ob die emittierte Strahlung nicht andere Stoffe im Gewebe ionisiert und damit neue radioaktive Teilchen hervorruft. Die Nuklidkarte fehlt mir aber und auch ein wenig Wissen in Kernphysik um selbst mir eine zu erstellen. ;-D

Grüße

Dave

01.04.2011, 01:31

gast88

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einfacher
klarsoweit hatte schon recht, das ist die vereinfachte formel.

alles eingesetzt ergibt: 75=500*(0,5)^(n/8,2)

nach n auflösen: n= log(75/500)*8,2 wobei 0,2 die basis vom log ist.

als erbnis bekommt man 22,443 tage.

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