Maximierung einer Funktion

18.03.2009, 22:24

alle

Maximierung einer Funktion

Hallo Forum,

Sei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ein gewichteter Mittelwert von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zufallsvariablen.

$\begin{eqnarray*} Z=\sum_{i=1}^{n}x_i*Z_i \end{eqnarray*}$

Gesucht ist die Gewichtung, die die Varianz von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ maximiert unter der Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x_i <= a \end{eqnarray*}$

Ich bin ersteinmal soweit gekommen, dass ich das Ganze in Matrix schreibweise forumliert habe.

Es gilt ja allgemein,
$\begin{eqnarray*} Var(aX+bY)=a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun auf n Zufallsvariablen beziehe finde ich in Matrixschreibweise:

$\begin{eqnarray*} Var(Z)=x^T*S*x \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Varianz-Covarianz-Matrix der $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ der Vektor der Anteile ist.

Aber wie maximiere ich nun die Varianz über die Anteile unter den Nebenbedingungen:
$\begin{eqnarray*} \sum^n_{i=1}x_i=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_i<=a \end{eqnarray*}$

Danke für Eure Hilfe! Wink

19.03.2009, 00:52

alle

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RE: Maximierung einer Funktion
Wieso wurde das in Stochastik verschoben? Das Grundlegende Problem ist die Maximierung einer Funktion in Abhängigkeit von mehreren Variabeln unter Nebenbedingungen. Zufälligerweise resultiert das Problem aus einem stochastischen. Bitte zurückverschieben.

19.03.2009, 20:55

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Hmmm, im Fall $\begin{eqnarray*} a\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist die Antwort einfach.

Für $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ , besser gesagt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \leq a < 1 \end{eqnarray*}$ (denn für alle anderen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist das zulässige Gebiet leer) ist die Antwort komplizierter, da kommt es schon auf die konkrete Kovarianzstruktur an. Im Fall unabhängiger $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ wäre ebenfalls eine einfache Antwort möglich, aber das kannst du ja anscheinend nicht voraussetzen.

19.03.2009, 21:40

Zahlenschubser

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Hallo!

Vielleicht hilft es bei der Lösung zu verstehen, warum die Varianz maximiert werden soll? Dann kommen wir vielleicht auch noch auf einen alternativen Lösungsansatz.

Woher stammen deine Beobachtungen? Wenn das so etwas wie eine Zeitreihe ist, vereinfacht sich die Kovarianzmatrix ganz enorm (Autokorrelationen) und der erste Ansatz wäre auch wieder leicht möglich.

19.03.2009, 21:59

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Zitat:

Original von Zahlenschubser

Vielleicht hilft es bei der Lösung zu verstehen, warum die Varianz maximiert werden soll?

Ungewöhnlich ist das schon, denn in der Statistik geht das Bestreben ja eher in Richtung minimaler Varianz. Augenzwinkern

21.03.2009, 00:05

alle

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Es handelt sich um ein Problem aus dem Bereich Finanzierung. Es geht im übergeordneten Problem um ein fiktives Derivat, dass varianzabhängige Auszahlungen liefert. Ein über viele Ecken daraus resultierendes Problem ist, dass die Varianz eines Portfolios von Wertpapieren maximiert werden soll, ja maximiert und nicht minimiert. Es soll also ein Portfolio aus n Aktien gebildet werden für die Beobachtungen (Tagesschlusskurse) vorliegen, aus denen man Varianzen und Kovarianzen der Renditen bestimmen kann. Es existiert die Restriktion, dass nicht mehr als ein bestimmter Teil (z.B. ein viertel) des gesamten PF aus Aktien des selben Types bestehen soll bzw nicht mehr als der selbe Anteil als Leerverkäufe vorliegen soll(negative $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ ). Die Renditen der Aktien sind untereinander korreliert. Man kann die Varianz-Covarianz-Matrix der Renditen als gegeben betrachten. Aus welchen Anteilen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ bilde ich nun das varianzmaximale PF.

@arthur dent. Für den Fall a=1 würde man einfach den Titel mit der größten Varianz von allen zu 100% in das Portfolio legen? Und im Fall von unabhängigen Renditen (was ja nicht vorliegt) würde man soviel wie möglich vom der Aktie mit der höchsten Varianz, dann so viel wie möglich von der mit der zweithöchten usw. ins Portfolio legen, richtig?

Ich glaube ich habe die eine Restiktion falsch formuliert. Die Anteile des Portfolios können auch negativ sein (Leerverkauf von Aktien). Also muss es logischerweise auch heißen: Betrag (x_i) < a

Ich dachte, dass es bei gegebener Var-Cov-Matrix eigentlich eine Lösung ermittelbar sein müsste. Ich vermute stark eine "Randlösung".

21.03.2009, 08:24

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Zitat:

Original von alle
Ein über viele Ecken daraus resultierendes Problem ist, dass die Varianz eines Portfolios von Wertpapieren maximiert werden soll, ja maximiert und nicht minimiert.

Da haben wir endlich den Schuldigen für die jetzige Finanzkrise: Du bist es! Und andere "Finanzmanager", die ebenso ihre Schundpapiere nach diesem Prinzip der Maximierung der Varianz zusammengestellt haben... Big Laugh

21.03.2009, 17:01

alle

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Keine Angst, in der Realität gibt es derartige Produkte meines Wissens (noch) nicht. Solche Papiere dienen auch immer einem bestimmten Zweck (der des Derivates wäre Versicherung gegen Volatilität also Risiko)... das die dann zweckentfremdet werden kann ja keiner ahnen, lol. Ich glaube auch die Finanzkriese wurde in erster Linie durch die Vergabe von faulen Krediten und den schlechten Job der Rating Argenturen ausgelöst. Ich wasche also meine Hände in unschuld und behaupte die Banken und Ratingargenturen sind schuld Big Laugh

. Wir angehende Finanzingenieure sorgen nur für die weitere Komplettierung der Finanzmärkte und damit für die Steigerung des Allgemeinwohles aller, da man sich ja derart einem Paretooptimum annähert Lehrer

Aber mal Spass beiseite und zurück zum eigentlichen Problem. Ist es vielleicht einfacher heuristisch nach einer Lösung zu suchen? Ich sehe immer noch keine Ansatz.

23.03.2009, 20:09

alle

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Ich habe heute den Tipp bekommen, dass die Lösung etwas mit den Eigenwerten der Varianz-Kovarianz-Matrix zu tun haben muss. Hat jemand eine Idee.

24.03.2009, 18:03

Zahlenschubser

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Also mein Problem mit deiner Problemstellung ist wie folgt:

Was ist überhaupt das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ? Ich kann das Problem formulieren ohne diese Nebenbedingung, die mir nicht einleuchtend erscheint.

Deine $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind überhaupt keine Gewichte und damit ist die Forderung, dass sich diese zu eins summieren auch hinfällig. Vielmehr sind es Aktienanteile, die sowohl positiv als auch negativ sein können.

Außerdem wird das Modell in der Realität versagen, weil es nur auf Korrelationen abstellt - übrigens auch ein Beitrag zur Finanzkrise, sich auf historische Korrelationen von Ausfallwahrscheinlichkeiten zu verlassen. So etwas wie Schiefe und Wölbung fehlt vollkommen!

26.03.2009, 14:22

alle

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Hallo

Die x_i sind Anteile, weil sie sich zu 1 addieren. Das schließt nicht aus, dass sie auch negativ sein können.

Beispiel

Aktie a kostet heute 1EUR
Aktie b kostet heute auch 1EUR

Wenn ich heute eine Aktie a leerverkaufe erhalte ich einen EUR und habe -1AKtie a im PF, mit dem einen Eur kaufe ich 1Aktie b dann bin ich bei 0. Jetz nehme ich noch einen EUR und kaufe noch eine Aktie b. Das heißt ich habe jetzt 1EUR Vermögen angelegt in einem PF aus 2Aktien b und -1Aktie a.

Die Anteile beziehen sich natürlich immer auf das Anfangsvermögen, das ich besitze, das spielt im Endeffekt aber keine Rolle, weil, wenn es 2EUR in dem Beispiel gewesen wären, hätte ich einfach die Anzahl der Aktien mit 2 multipliziert und dann wären die Anteile wieder gleich (2 und -1). Und 2 und -1 summiert sich zu 1.

Das a ist nun eine Restirktion, die besagt dass die der Betrag der Anteile eben nicht größer als a sein darf. wenn ich a = 0,5 setzte, heisst das, dass max 0.5*vermögen in aktien einer bestimmten Art angelegt werden dürfen, bzw. max 0,5*Vermögen einer bestimmten Aktie leerverkauft werden dürfen.

Ob das Modell nachher sinn macht ist erst mal irrelevant, Es geht auch nicht um das reale Problem das dahinter steht. Es geht darum das mathematische zu lösen (dafür ist die Aufgabe konzipiert) also kommen wir mal weg von den Aktien usw und zurück zu meinem ersten Post in dem das mathematische Problem dargestellt ist. Maximierung der Varianz einer zufallsvariable, die summe von untereinander abhängigen zufallsvariable ist unter den beiden NB. Gegeben ist die Var-Kovarianz-Matrix. die Varianz soll über die Gewichte maximiert werden, die auch negativ sein können, sich aber trotzdem zu eins summieren. Der Betrag der Gewichte darf a nicht überschreiten.

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