Zerfällungskörper eines Polynoms von Grad 5 über Q

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19.03.2009, 11:46	derBollen	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerfällungskörper eines Polynoms von Grad 5 über Q Hallo, folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f \in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ ein irreduzibles Polynom $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ . Grades. Welchen Grad kann der Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ haben? Bisher habe ich: Die erweiterung ist normal und damit liegen alle 5 Nullstellen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ . Mit der Gradformel erhält man dann, dass wenn man die Nullstellen nacheinander zu $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ dazuadjungiert, dass der Grad von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5! \end{eqnarray}$ teilen muss. Außerdem muß $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ diesen Grad teilen, weil ja $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ Grad $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ hat. Die Möglichkeiten für den Grad der Erweiterung sind damit: $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ Ich habe hier einen Tipp, dass ich mit den Sylowsätzen (wahrscheinlich auf der Galoisgruppe?) weiterhantieren soll, habe aber keinen Plan, wie bzw. was ich da genau machen soll ... hat jemand eine Idee? gruß bollen
19.03.2009, 13:20	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zerfällungskörper eines Polynoms von Grad 5 über Q Was ist denn mit $\begin{eqnarray} 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2 \end{eqnarray}$ als Erweiterungsgrad? Wieso sollte das nicht vorkommen können? Die Galoisgruppe von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ permutiert ja letztendlich die Nullstellen des Polynoms, also ist die Galoisgruppe eine Untergruppe von ...?
19.03.2009, 20:11	derBollen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ ist natürlich auch noch von der Partie! Und die Galoisgruppe ist dann eine Untergruppe der $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ . Man kann also schonmal bestätigen: $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ das wäre dann die $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ selbst. $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 3 \end{eqnarray}$ das wäre die $\begin{eqnarray} A_{5} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ die von einem Fünfzykel erzeugte Fünfsylowgruppe. So, das waren die einfachsten. Jetzt geht die Überlegung weiter: $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ gehen glaube ich nicht, weil: 1. In beiden Gruppen liegt eine 5-Sylowgruppe und die operiert transitiv (es gibt nur eine Bahn, weil es ja nur einen Zykel gibt, der alle fünf Elemente enthält) auf den Elementen. 2. Außerdem gibt es eine 3-Sylowgruppe, also auch einen Dreizykel. 3. Je zwei Dreizykel sind zueinander konjugiert. Wenn man nun die 5-Sylowgruppe auf einem Dreizykel durch Konjugation arbeiten lässt erhält man alle Dreizykel und damit, dass die ganze $\begin{eqnarray} A_{5} \end{eqnarray}$ (die von den Dreizykel erzeugt wird), in dieser Gruppe liegen muss. Ist das so okay argumentiert, oder reicht die Transitivität der 5-Zykel doch nicht ganz aus, um alle Dreizykel zu bauen? Mit einer analogen Argumentation würde ich dann finden, dass die Gruppen mit $\begin{eqnarray} 5 \cdot 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ schon die ganze $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ enthalten, also die $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ sind, weil die ja von den Zweizykeln erzeugt wird. Dann bliebe allerdings noch die $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5 \cdot 4 \cdot 2 \end{eqnarray}$ ... gruß bollen PS: Und Danke, dass du mich an die das Permutieren erinnert hast. Das habe ich jetzt schon so oft gesehen und komme trotzdem nicht drauf es zu benutzen o_O.
19.03.2009, 21:44	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau'n mer mal 1) $\begin{eqnarray} 5\cdot 2 \end{eqnarray}$ geht, es gibt schließlich einen Zweier, der auf dem Fünfer operiert. 2) Schau Dir doch mal die Ordnung des Normalisators eine 5-Sylowgruppe in $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ an. Größer kann der Normalisator auch in einer Untergruppe nicht werden. Beispiel: $\begin{eqnarray} \|U\|=5\cdot 2^3 \end{eqnarray}$ Per Sylowsatz wäre hier eine 5-Sylowgruppe $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ normal, aber dann wäre $\begin{eqnarray} 5\cdot 2^3=\|N_U(T)\|>\|N_{S_5}(T)\|=5\cdot 2^2 \end{eqnarray}$ .Ein Widerspruch. Deine Argumentation mit den Dreizykeln ist zwar richtig (ein Fünfer und ein Dreier erzeugen die $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ ) aber irgendwie noch nicht richtig nachvollziehbar. Wieso sollten denn alle Dreier unter einer 5-Sylowgruppe zueinander konjugiert sein? - Es gibt doch mehr als vier Dreier in der $\begin{eqnarray} A_5 \end{eqnarray}$ . Aber auch hier läßt sich alles ohne weiteres mit dem Sylowsatz erschlagen (bis auf eine Ausnahme). Die Gruppen, die sich dann ergeben, kann man übrigens auch recht gut angeben. Gruß, Reksilat.
20.03.2009, 19:47	derBollen	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, jetzt hab ich zumindest mal gesehen, wie so eine Überlegung überhaupt aussieht. Aus irgendeinem Grund ist es an mir Vorübergegangen, wie man mit den Sylowsätzen gescheit argumentiert... Also, ich probiere das jetzt mal analog für eine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \end{eqnarray}$ Elementen: Es gibt genau eine 5-Sylowgruppe $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ und die ist damit Normalteiler. $\begin{eqnarray} N_{U} (T) \end{eqnarray}$ ist der Schnitt von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N_{S_{5}} (T) \end{eqnarray}$ und damit eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} N_{S_{5}} (T) \end{eqnarray}$ , aber offensichtlich teilt die Ordnung von $\begin{eqnarray} N_{U} (T) \end{eqnarray}$ nicht die Ordnung von $\begin{eqnarray} N_{S_{5}} (T) \end{eqnarray}$ . Ein Widerspruch. Mal sehn, was bei den anderen Sachen geht... Danke nochmal! Gruß Bollen
20.03.2009, 20:32	derBollen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} N_{S_{5}} (T) \end{eqnarray}$ hat ja für jede 5-Sylowgruppe $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ die Ordnung $\begin{eqnarray} 5 \cdot 2 \cdot 2 \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} 5 \cdot 2 \cdot 2 \end{eqnarray}$ auch okay. Es bleibt $\begin{eqnarray} 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ , das ist wohl, die von dir angesprochene Ausnahme? gruß bollen
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21.03.2009, 11:37	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Morgen, Also $\begin{eqnarray} 5\cdot 3 \end{eqnarray}$ hätten wir jetzt. Für $\begin{eqnarray} 5\cdot 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5\cdot 2^2 \end{eqnarray}$ könntest Du Dir noch überlegen, von welchen Elementen solche Untergruppen erzeugt werden - schönes Beispiel, um sich etwas mit Automorphismengruppen zyklischer Gruppen zu beschäftigen. Bei $\begin{eqnarray} \|U\|=5\cdot 2\cdot 3 \end{eqnarray}$ kannst Du ja wieder auschließen, dass die 5-Sylowgruppe normal ist. Dann schaust Du Dir einfach die 3-Sylowgruppe an und erzeugst damit den Widerspruch. (Siehe auch hier) Da hier ja letztlich nur die Untergruppen der $\begin{eqnarray} S_5 \end{eqnarray}$ betrachtet werden, wäre es natürlich auch noch möglich, dass es zu einigen dieser Gruppen gar kein irreduzibles Polynom vom Grad 5 mit entsprechender Galoisgruppe gibt (siehe auch Umkehrproblem). Ich weiß aber nicht, ob das noch zur Aufgabe gehört. Gruß, Reksilat.
21.03.2009, 19:05	derBollen	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke! Die Elemente der Ordnung 3 in $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ sind doch gerade die Dreizykel (weil ja bei 5 Elementen kein Platz für mehrere hintereinandergeschaltete Dreizykel ist), oder? Dann würde ich nämlich auf 10 3-Sylowgruppen in der $\begin{eqnarray} S_{5} \end{eqnarray}$ kommen. Sei nun $\begin{eqnarray} \|U\| = 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ Gemäß dem ersten Link gibt es im Falle von 6 5-Sylowgruppen nur eine 3-Sylowgruppe $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . Die ist dann wieder Normalteiler und es folgt: $\begin{eqnarray} \|N_{U}(T)\| = 5 \cdot 3 \cdot 2 \end{eqnarray}$ ist größer als $\begin{eqnarray} \|N_{S_{5}}(T)\| = 4 \cdot 3 \end{eqnarray}$ . Ein Widerspruch. Ich glaube ich belasse die Aufgabe jetzt dabei. Muss noch soviel anderen Kram lernen . gruß bollen
21.03.2009, 20:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Passt doch auch. Jetzt müsstest Du ja alles haben.

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