extremwertprobleme

19.03.2009, 18:10

secretwz

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extremwertprobleme

AUfgabe:
Aus zwei 20 cm breiten Brettern soll eine v-förmige Holzdachrinne hergestellt werden. Bei welchem Abstand der beren Bretterkanten ist das Fassungsvermögen am größten?

Also bis jetzt hab ich bei allen AUfgaben irgendwie ein Ansatz gehabt, aber die Aufgabe versteh ich nicht.
Muss nicht eher die Länge der Bretter Angegeben werden? ist die Breite nicht egal?
ausserdem sind Dachrinnen doch gebogen und keine Bretter? und wenn dann bräuchte man doch auch die andere Breite?
Kann mir das bitte jemand erklären wäre sehr nett danke!

19.03.2009, 18:19

sulo

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RE: extremwertprobleme
Also, gefragt wird hier nach der größten Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basis Du bestimmen sollst.

LG sulo

19.03.2009, 18:20

Jayk

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Bei welchem Abstand der beren Bretterkanten ist das Fassungsvermögen am größten?

beren? beiden?

Außerdem: Die Bretter sind so anzuordnen: \/ (-> v-förmig, nicht u-förmig, also schon spitz und nicht gebogen, auch wenn das eigentlich so wäre).

[attach]10109[/attach]

Die Länge ist egal, da Fassungsvermögen und Länge in jedem Fall proportional sind. Gefragt ist der Abstand oben. Du sollst nun ausrechnen, (wie groß der Winkel ist führt auf dasselbe hinaus), wann am meisten Wasser reinpasst.

edit: du schreibst doch schon von Extrema. verwirrt

verwirrt

19.03.2009, 18:33

secretwz

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Ja jetz hab ichs verstanden danke =)

Aber wenn ich ein gleichschenkliges Dreieck habe die beiden Seiten heißen a und die gesuchte Basis x.

A= x*h/2

Aber h ist ja nicht gegeben daher:

h= sqrt[ a² - (x²/4) ]

A= x*((sqrt[ a² - (x²/4) ])/2)

A= x*((sqrt[ 400 - (x²/4) ])/2)

Jetzt muss ich ja ABleitung machen..

Doch da weiß ich nicht weiter.. Kann man das vielleicht noch zusammenfassen?
Versuch:

A(x)'= sqrt[ x/2 ]

Oder was passiert mit dem x und der 2 ausserhalb der Wurzel?

19.03.2009, 18:45

sulo

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A= x*((sqrt[ 400 - (x²/4) ])/2)

Das würde ich mal so schreiben: $\begin{eqnarray*} A= x\cdot\frac{1}{2} \cdot \sqrt{400 - \frac{x^{2} }{4}} \end{eqnarray*}$

Und dann solltest Du statt der Wurzel lieber hoch 1/2 schreiben: $\begin{eqnarray*} A= \frac{x}{2} \cdot( {400 - \frac{x^{2} }{4}}) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Und jetzt ableiten mit Produkt- und Kettenregel....

19.03.2009, 18:53

secretwz

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wie macht man das mit der wurzel und dem bruch in der funktion?

ok 2.Versuch:

A'= (- x/2)^1/2

das wars doch schon oder?

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19.03.2009, 19:00

sulo

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Meinst du das im Ernst?

Du musst die Produktregel anwenden für das Produkt x/2 mal Klammer und dann die Kettenregel (äußere Ableitung mal innere Ableitung) für den Klammerausdruck.

Etwas aufwändiger ist das schon ....

19.03.2009, 19:23

secretwz

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mh ich hab da ein wenig gefehlt...

u=x^1/2
v= 400 - x²/4
u'= x^-1/2
v'= x/2

A'= (400- x²/4)^-1/2*x/2

Hab ich das jetzt richtig verstanden?
Also das ist erstmal ohne das x/2 natürlich..

19.03.2009, 19:35

sulo

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Kannst Du nicht Latex benutzen? Das ist viel besser zu erkennen und man übersieht nichts.

$\begin{eqnarray*} u=x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= 400 - \frac{x^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= x^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v'= \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'= (400- x²/4)^-1/2*x/2 \end{eqnarray*}$ ????

Egal, es stimmt so oder so nicht ...

Ich verstehe nicht mal, ob das jetzt Ketten- oder Produktregel sein soll, so viele Fehler sind da drin. unglücklich

unglücklich

19.03.2009, 19:38

secretwz

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mh dann versteh ich die kettenregel irgendwie nciht..

ja aber wie bekomme ich da wurzeln und brüche etc hin?
und wie hat Jayk das vorhon mit dem selbstgemachten Bild gemacht?

19.03.2009, 20:04

sulo

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Das musst Du ihn schon selbst fragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also dann mal für krank gewesene Schüler zum Verstehen:

$\begin{eqnarray*} A= \frac{x}{2} \cdot( {400 - \frac{x^{2} }{4}}) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Also pass auf:
Damit die Sache einfach ist, würde ich setzen: x ist die Hälfte der gesuchten Strecke. Dann ersparst Du Dir das blöde Rechnen mit x/2 und x/4 ....

Also: $\begin{eqnarray*} A= x \cdot( {400 - x^2}) ^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$

Besser, oder?

19.03.2009, 20:25

Jayk

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Also für einen Bild-Upload klickst du einfach auf Dateianhänge.

Für Formeln setzt du alles in: [ latex]...[/ latex] (ohne Leerzeichen). Dazwischen steht LaTeX-Code. Um den zu generieren, klickst du entweder rechts auf Werkzeuge->Formeleditor. Oder du schreibst es selbst:

\frac{a^2+b^{2 \cdot n + 1} - 3}{5 \cdot 2} -> $\begin{eqnarray*} \frac{a^2+b^{2 \cdot n + 1} - 3}{5 \cdot 2} \end{eqnarray*}$

\left( \frac{a^2+b^{2 \cdot n + 1} - 3}{5 \cdot 2} \right) ^2 --> $\begin{eqnarray*} \left( \frac{a^2+b^{2 \cdot n + 1} - 3}{5 \cdot 2} \right) ^2 \end{eqnarray*}$

und noch:

\int _0^\pi \sin x --> $\begin{eqnarray*} \int _0^\pi \sin x \end{eqnarray*}$
\sqrt{2} --> $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
\sqrt[3]{x^2-^\frac{1}{2} - 2} --> $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^2-\frac{1}{2} - 2} \end{eqnarray*}$
\sin x = \sum _{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} --> $\begin{eqnarray*} \sin x = \sum _{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \end{eqnarray*}$ Big Laugh

Big Laugh

Daraus sollte eigentlich das wichtigste hervorgehen.

19.03.2009, 20:27

secretwz

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Ist das jetzt schon die Ableitung?

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch 0?
Und wenn man dann die Produktregel anwendet:

f1' * f2 + f1 * f2'
Dann müsste das doch auch 0 werden?

19.03.2009, 20:33

sulo

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Nee, das waren Beispiele für den Formel-Editor von Jayk

Und von mir war das eine Vereinfachung der Hauptbedingung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist doch 0?

Ohje ohje ...

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ....

19.03.2009, 20:43

secretwz

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danke für die erklärung!

Stimmt eigentlich logisch... wegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*x \end{eqnarray*}$
Leitet man das denn nicht mit der quoitientenregel ab weil die variable oben steht?
Weil mit der Quotientenregel würde es ja 0 werden.

19.03.2009, 20:44

Q-fLaDeN

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Sorry, keine Absicht...

19.03.2009, 20:50

sulo

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Lass Dich nicht von dem $\begin{eqnarray*} \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ verwirren .

Du leitest ja auch 4x ab nach 4, und wendet keine Produktregel an.

Ich denke, ich werde gleich mal die Ableitung aufschreiben, wir sitzen hier schon 2 Stunden und kommen nicht voran....

19.03.2009, 20:53

secretwz

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Naja ich sollte mir wohl mal das mit der ableitung genauer anschaun und nachholn sonst wird das ja bei den nächsten aufgaben auch nicht besser. Ich werde jetzt gehn, da wir morgen schon die Aufgabe kontrolliern brauchst du dir nicht mehr die mühe zu machen. aber vielen dank für die bisherige hilfe!

19.03.2009, 21:06

sulo

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Ok ...

Also, meine Lösung wäre übrigens 20 x Wurzel aus 2, also ca. 28,28 cm für die Basis und 10 x Wurzel aus 2 für die Höhe des Dreiecks.

Würde mich interessieren, was Du morgen raus hast.

LG, sulo

20.03.2009, 18:59

secretwz

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Jetzt hat ich schon alles geschrieben und danna usversehn geschlossen -.-
Naja nochma kurz:

Wir hatten zwei Lösungswege, einmal den den ich hatte.
Und dann diesen hier:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}a^2*sin(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'=a*cos(y) \end{eqnarray*}$

Damit das 0 wird, muss y 90° sein.

$\begin{eqnarray*} A''=1*(-sin(y))=-1 < 0 >>> max \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{20cm}{sin(45°)} = \frac{c}{sin(90°)} \end{eqnarray*}$

c=28,284....

Diese Art ist eigentlich viel leichter.. Aber man muss das nehmen auf das man kommt.

Dann hat der Lehrer die Ableitung erklährt mit der ich nicht klar kam. Doch verstanden hab ich es trotzdem nicht. Könnte jemand mir eine Schritt für Schritt Anleitung für sollch eine ähnliche Formel geben, damit ich dies dann an meinem Beispiel austesten kann?
Oder hat jemand eine bessere Idee damit ich es versteh? Danke!

20.03.2009, 19:26

sulo

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Hi, zunächst freut mich, dass meine Rechnung richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für's Ableiten kann ich Dir folgende Seiten empfehlen:
http://www.rither.de/a/mathematik/analys...--produktregel/
http://www.rither.de/a/mathematik/analys...g--kettenregel/
http://www.rither.de/a/mathematik/analys...uotientenregel/

Und zum Üben (mit Lösungen):
http://members.chello.at/gut.jutta.gerha...s/ableitung.htm

LG sulo

22.03.2009, 13:09

secretwz

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ok vielen dank =)
Ich werde mich mal dran setzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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