Woher weiß wan wie viele Eigenvektoren man bilden soll? |
| 20.03.2009, 15:18 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Woher weiß wan wie viele Eigenvektoren man bilden soll? ich habe mich gerade gefragt, woran man erkennt wieviele Eigenvektoren einer Matrix man bilden soll/kann. Wenn ich zB eine solche Matrix habe: und ich die Eigenwerte mit 2 und (doppelter)-3 berechnet habe und auch keine großen Probleme bei den Eigenvektoren habe: Zu2: (1,1,0)^t und zu -3 (-1,1,1)^T weiß ich aber immer noch nicht ob ich jetzt nun noch den Eigenvektor(1,-1,-1)^T zu -3 bestimmen soll oder ob es nur 2 Eigenvektoren gibt...woran erkenne ich dies? mfg |
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| 20.03.2009, 16:50 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe gerade mal tigerbines Workshop zu Eigenwerten & Co gelesen. Daraus entnehme ich, dass die geometrische Vielfachheit ausschlaggebend für die Anzahl der Eigenvektoren ist.Ist dies soweit korrekt? Weiterhin weiß ich zwar was die algebraische Vielfachheit ist(Im Beispiel liegt sie für -3 bei zwei) aber ich weiß im Moment die geometrische ncht zuzuordnen...hat da jemand nen Tip für mich? Lg |
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| 20.03.2009, 16:56 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren meinst, dann ja.
Ja. Erkläre, wo genau dein Problem liegt. |
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| 20.03.2009, 17:10 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, meine Frage ist nun wie ich die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren berechnen kann! Also wenn ich den Eigenwert -3 in meine Matrix einsetzte erhalte ich ja: woraus man dann recht einfach den Eigenvektor ermitteln kann ( Wie oben schon : (1,-1,-1)^T) Nun weiß ich nicht genau, wie ich die geometrische Vielfachkeit an dem Eigenwert -3 bestimmen kann...das sie bei zwei liegt weiß ich durch die Lösung meines Profs...aber ich verstehe einfach nicht wie man darauf kommt. Zumal dann ja auch noch ein weiterer Eigenvektor mit (-1,1,1)^T vorhanden ist. Wenn -3 die geometrische Vielfachheit 1 hätte, würde es ja nur einen Eigenvektor geben. |
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| 20.03.2009, 17:24 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstens gibt es nicht den Eigenvektor, sondern unendlich viele, und zweitens ist der Von dir angegebene Vektor kein Eigenvektor zum Eigenwert -3. Denn -3 ist nicht mal ein Eigenwert.
Nein. Wie gesagt gibt es unendlich viele. Wenn v ein Eigenvektor ist, dann auch alle Vielfachen von v. |
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| 20.03.2009, 18:05 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der berühmte Fehlerteufel hat sich wieder eingefunden... die Matrix lautet dann stimmen meine Annahmen... aber wie ist das denn nun mit der geometrischen Vielfachheit? |
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| 20.03.2009, 18:17 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was verstehst du denn an tigerbines Ausführungen nicht? |
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| 20.03.2009, 18:26 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Diesen Satz hier: "Die Dimension des Kerns = Dimension des Eigenraums nennt man geometrische Vielfachheit des Eigenwertes" Es war immer so bisher, dass wenn ich zB 3 verschiedene Eigenwerte hatte, dass ich auch 3 verschiedene Eigenvektoren bilden konnte. Nun habe ich aber einen doppelten Eigenwert mit -3 und weiß nicht ob ich nun hierfür 2 Eigenvektoren bestimmen soll oder einen...habe noch eine andere Aufgabe bei der man nur einen bestimmt(trotz doppeltem Eigenwert).Bei dieser hier aber sollen es zwei sein. |
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| 20.03.2009, 18:38 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Eigenraum zum Eigenwert t ist ker(A - tI). (I ist hier die Einheitsmatrix) Dies ist ein Vektorraum, in dem alle Eigenvektoren liegen. Und den musst du einfach bestimmen. Ist er z.B. zweidimensional, dann gibt es 2 linear unabhängige Eigenvektoren. Ist er nur eindimensional, dann gibt es nur einen linear unabhängigen Eigenvektor. |
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| 20.03.2009, 19:02 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, also zu -3: "Dies ist ein Vektorraum, in dem alle Eigenvektoren liegen. Und den musst du einfach bestimmen." Ok also ich bestimme einen Eigenvektor...aber leider weiß ich immer noch nicht wie ich die Dimension (also die geometrische Vielfachheit) bestimme anhand der Matrix...also weiß ich nicht wieviele Eigenvektoren ich bestimmen soll... |
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| 20.03.2009, 19:10 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also Linear unabhängig sind die Vektoren... (1,-1,-1)^T*1+1*(2,3,0.5)^T+(-1)*(3,2,0.5)^T = (0,0,0)^T aber was bringt mir das? |
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| 20.03.2009, 19:18 | Staunth | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallöchen det(A-lambda*E)=0 ergibt eine charackteristsche Gleichung (mit anderen Worten ein Polynom) Bei deiner Matrix erhälst du für die Nullstellen x1=2 und x2=-3! Du hast eine Gleichung dritten Grades, aber nur 2 Nullstellen, das bedeutet eine der beiden Nullstellen hat eine geometrische Vielfachheit von 2. Welche der beiden Nullstellen ist das? Du suchts bei einer Polynomdivision eine mögliche Nullstelle für dein Bsp. nehmen wir mal die x=2. Du stellst fest: du bekommst eine quadratische Gleichung mit der Nullstelle x=-3. (Dieser Schritt ist nur zum Verständnis) - Jetzt machst du die Polynomdivision nochmal, aber dies mal mit x=-3. Wenn du das tust, erhälst du eine quadratische Gleichung, deren Nullstellen x=2 und x=-3 sind! Nun hast du aber die -3 schon als mögliche Nullstelle ausgerechnet! Demzufolge hat der Eigenwert x=-3 eine algebraische Vielfachheit 2, da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist! Dann hast du eben nur zwei Eigenvektoren für x1=2 und x2=-3, die deine zwei Nullstellen abbilden! PS: Alternative ansonsten legst du dir „Matlab“ zu, damit kannst du deine Matrizenrechnungen überprüfen und korrigieren. Das macht auf jeden Fall Sinn fürs weitere Studium. Die Studentenversion kostet etwa 100€, die aber gut investiert wären. Informiere dich ruhig nochmal Gruß Staunth Wink |
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| 20.03.2009, 19:23 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich glaube ich habe es verstanden. Werde ansonsten nochmal eine Frage stellen :-) Danke schonmal |
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| 20.03.2009, 19:38 | Staunth | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also die algebraische Vielfachheitist einfach die Anzahl jedes Eigenwertes, d.h. x1= 2 - alg. vielf. =1 x2= -3 -alg. vielf. =2 (Da die -3 zwei mal als Nullstelle auftaucht) dann bildest du einfach alle möglichen Eigenvektoren. Da aber nur zwei Eigenvektoren möglich sind, ist deine geometrische Vielfachheit 2. die alg. Vielfachheit bezieht sich auf jeden Eigenwert, wobei die geometrische Vielfachheit die gesamtmöglichen Eigenvektoren betrachtet. |
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| 20.03.2009, 19:48 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Heureka!Jetzt verstehe ich es!!Supi!Vielen Dank!!!!! |
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| 20.03.2009, 23:51 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verstehe nicht, warum du es erst jetzt verstehst. tigerbine hat im Workshop doch alles genauestens erklärt... |
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| 21.03.2009, 14:32 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fand das genau das, was ich nicht verstand nicht so 100% genau erklärt war.Aber solls jetzt kann ich es ja ;-) |
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| 30.03.2009, 13:21 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe soeben einen Fall gefunden wo es nicht geklappt hat, so wie es hier erklärt ist :-( Also aus Matrix 1:kommen Die Eigenwerte: x1=2;x2=2 und x3=3. Mit der pq Formel habe ich x2 und x3 herausbekommen und dachte mir dann...aha also 2 Eigenvektoren bestimmen!Stimmt auch! So heute hab ich dann noch eine andere Matrix gerechnet wo dann herauskam: Matrix2:Eigenwerte: x1=-1,x2=-1,x3=2.Ich dachte nun, da ich x2 und x3 über pq heraus bekam dass es wieder insgesamt 2 Eigenvektoren gibt.aber...laut Lösung gibt es zu -1 zwei!Es ist zum verrückt werden...wie geht das denn nun ich muss es wissen! Der Vollständigkeit halber Matrix1: Matrix2: |
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| 30.03.2009, 13:27 | California | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hat sich erledigt...hatte mich total in meinen Unterlagen verguckt.Warum kann man hier keine Beiträge selbst löschen?So muss ich das hier stehen lassen.. Lg |
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