Waagerechte u. Senkrechte Tangenten von Lemniskate

21.03.2009, 00:01	mempos	Auf diesen Beitrag antworten »
Waagerechte u. Senkrechte Tangenten von Lemniskate Hallo, ich habe eine Frage bezüglich einer Antwort, wo ich irgendwo einen Fehler haben muss: Es geht um folgende in Polarkoordinaten dargestellte Lemniskate: $\begin{eqnarray} r=\sqrt{cos(2x)} \end{eqnarray}$ Von dieser möchte ich die waag. und senkrechten Tangen bestimmen: $\begin{eqnarray} x = r cos(x) = \sqrt{cos(2x)} * cos(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = r * sin(x) =\sqrt{cos(2x)} * sin(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=\frac{sin(x)sin(2x) - cos(x)cos(2x)}{cos(x)sin(2x)+sin(x)cos(2x)} \end{eqnarray}$ Um die waagerechten Tangen zu bestimmen muss der Term auf dem Bruchstrich 0 ergeben. $\begin{eqnarray} sin(x)sin(2x) - cos(x)cos(2x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow sin(x)2sin(x)cos(x)-cos(x)(cos^{2}(x)-sin^{2}(x)) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 3 * sin^{2}(x)cos(x)-cos^{3}(x) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow cos(x)(3 * sin^{2}(x)-cos^{2}(x)) = 0 \end{eqnarray}$ Der Term wird 0, wenn cos(x) = 0 oder der Term in der Klammer 0 ergibt. Nun erhalte ich als Ergebnis für cos(x) = 0: $\begin{eqnarray} x1 = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x2 =\frac{3}{2}* \pi \end{eqnarray}$ Nun noch den Term in der Klammer zu 0 setzen: $\begin{eqnarray} 3sin^{2}(x)-cos^{2}(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 3sin^{2}(x)-1 + sin^{2}(x)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow sin^{2}(x)=0.25 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x=arcsin(-/+0.5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x3 = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x4 =\frac{5}{6}* \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x5 =\frac{7}{6}* \pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x6 =\frac{11}{6}* \pi \end{eqnarray*}$ Was mich nun wundert: an der Position x1 und x2 sind laut Lösung keine waagerechten Tangenten. Warum kommt dort aber als Ergebnis 0 heraus? Was habe ich dabei nicht beachtet? Grüße mempos.
21.03.2009, 11:01	mempos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, so ist der Funktionsverlauf (wie eine liegende 8): Leider zeichnet der Plotter nicht durchgehend. Eventuell habe ich ihn falsch angewendet. Grüße Manuel.
21.03.2009, 11:44	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich erhalte wie du für die waagrechten tangenten neben $\begin{eqnarray} cosx_{1,2} =0 \quad{ }\text{mit}\sqrt{cos2x}=\sqrt{-1} \end{eqnarray}$ das wird die begründung sein $\begin{eqnarray} sinx=\pm\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und für die horizontalen $\begin{eqnarray} tanx =0 \end{eqnarray}$
21.03.2009, 12:08	mempos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dank dir Riwe. Das wird es wahrscheinlich sein :-). Ich muss mir merken, die Funktionswerte quasi nochmal gegen die Funktion zu prüfen, ob sinnvolle Werte herauskommen. Mit welchem Programm hast du die Zeichnung angefertigt? Grüße mempos.
21.03.2009, 12:18	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
mit euklid

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