Folgen: von explizit in rekursiv

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21.03.2009, 10:52	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen: von explizit in rekursiv Hallo! Ich sitz gerade an meiner Mathe-Abi-Vorbereitung und hab jetzt endlich mal mit Folgen angefangen und komm nicht mal mit den einfachsten Fragen klar... Wenn ich diese explizite Folge: $\begin{eqnarray} an= \frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray}$ in eine rekursive umschreiben will, stimmt es dann, was ich gemacht habe? -> $\begin{eqnarray} an+1= \frac{2(n+1)+1}{n+1+1} = \frac{2n+3}{n+2} \end{eqnarray}$ -> mit dem Startwert a1: $\begin{eqnarray} a0+1=a1= \frac{20+3}{0+2} = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, das ist verständlich, ich hab diese Tiefstellung irgendwie nicht gefunden... caps
21.03.2009, 11:05	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
In der rekursiven Darstellung sollte dann auf der rechten Seite aber auch $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ wieder auftauchen, sonst wäre es ja wieder explizit. Warum bildest du nicht den Startwert für $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ?
21.03.2009, 11:15	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für deine schnelle Antwort! also müsste die rekursive Form so heißen: $\begin{eqnarray} an+1= \frac{2(n+1)+1}{n+1+1}+an = \frac{2n+3}{n+2}+an \end{eqnarray}$ ? Wenn ich den Startwert a0 hätte, wäre doch n=-1 oder ist das falsch? Also ich hab mal meine Hefte durchgeschaut, und wir hatten bis jetzt immer einen Startwert von a1 Macht das einen großen Unterschied?
21.03.2009, 11:29	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
also der Startwert $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ ist korrekt, aber deine Formel ist falsch. Es kann ja unmöglich sein, dass $\begin{eqnarray} a_{n+1}=x+a_n \end{eqnarray}$ ist, wobei x dein $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist. Bilde die Differenz von $\begin{eqnarray} a_{n+1}-a_n=x \end{eqnarray}$ und setze das dann mal für dein falsches x ein. Was erhältst du dann? MfG
21.03.2009, 11:46	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ja, hier war was falsch, das Posting drunter müsste stimmen ^^
21.03.2009, 11:49	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso! Also muss ich da die Differenz bilden? Hab gedacht, ich zähle bei den n's immer nur 1 dazu Also dann auf ein Neues: $\begin{eqnarray} an= \frac{2n+1}{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(n+1)-an=\frac{2(n+1)+1}{n+1+1}-\frac{2n+1}{n+1}=\frac{2n+3}{n+2}-\frac{2n+1}{n+1}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{(2n+3)(n+1)-(2n+1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{2n^2+4n+3n+6-2n^2-4n-n-2}{n^2+n+2n+2}=\frac{3n+4}{n^2+3n+2} \end{eqnarray}$ Stimmt das dann? Und wenn ich den Startwert a0 haben will, rechne ich doch dann a-1+1=a0, oder? Dann ist n am Anfang -1? Edit (mY+): Lange Zeile geteilt.
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21.03.2009, 12:02	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist gerade aufgefallen, dass das ja wieder nicht stimmen kann! Dieses $\begin{eqnarray} an \end{eqnarray}$ , das auf der anderen Seite wieder auftauchen muss, schreib ich das einfach so hin, oder setz ich dafür das aus der expliziten Form ein?
21.03.2009, 12:15	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast dich beim ausmultiplizieren verrechnet... MfG
21.03.2009, 12:28	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ja, habs gesehen... oh mann immer diese Leichtsinnsfehler -.- $\begin{eqnarray} a(n+1)-an=\frac{1}{n^2+3n+2} \end{eqnarray}$ Richtig`? (ich trau mich ja schon garnicht mehr zu fragen... -.-) Also müsste ich jetzt nur noch dieses an auf die andere Seite bringen und dann hab ich diese Form?
21.03.2009, 12:33	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
ja genau also auf $\begin{eqnarray} a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+2)(n+1)} \end{eqnarray}$ so sollte es stimmen. Ich hab so ein beispiel selbst noch nie gerechnet aber rein vom logischen her muss es so stimmen und wenn ich damit die ersten 2 Glieder berechne, kommt das gleiche raus wie bei der expliziten schreibweise , also stimmt das so schon Kannst ja mal probieren ob bei dir auch das gleiche rauskommt MfG
21.03.2009, 12:36	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah endlich Vielen lieben Dank! Kann mir jetzt noch jemand sagen, für was ich sowas brauche? Denn wenn ich die explizite Form habe, was nützt mir dann die rekursive? o.O
21.03.2009, 12:40	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
naja das is ne gute frage, weil die rekursive schreibweise hat eigentlich nur nachteile gegenüber der expliziten, naja vielleicht is es nur so ein übungsbeispiel^^, aber vorteile kenn ich überhaupt keine von rekursiven gegenüber explixiten Folgendarstellungen... wo hast du das Beispiel her? Mfg
21.03.2009, 12:47	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab hier ein Übungsblatt zu Folgen, da sind ganz unterschiedliche Aufgaben drauf, unter anderem eben dieses Beispiel. Ich glaube, es ging auch nur darum, es umformen zu können, falls es im Pflichtteil dran kommt. Von rekursiv in explizit gibt's hier aber keine Aufgabe, ich kann mich auch nicht dran erinnern, das jemals gesehen zu haben?!
21.03.2009, 12:54	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
naja ich denke es hat nur theoretische bedeutung und von rekursiv in explixit umzubauen funktioniert nicht so einfach (falls es nüberhaupt eindeutig funktioniert), aber da kenne ich mich nicht aus MfG
21.03.2009, 13:11	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ok, dann muss ich mich ja glücklicherweise damit auch nicht beschäftigen :-p Ist es eigentlich immer so, dass ich a(n+1)-an=x rechne, oder kann es auch mal sein, dass ich da a(n+1)+an=x stehen habe und damit dann im Endeffekt dieses an abziehe statt addiere?
21.03.2009, 16:18	caps	Auf diesen Beitrag antworten »
Sooo, ich nochmal. Hab doch noch ne Frage... Wenn ich die Monotonie einer Folge ohne GTR beweisen soll, hab ich folgendes aufgeschrieben: wenn an monoton bzw. streng monoton steigt: $\begin{eqnarray} a(n+1)>an \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(n+1)-an>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a(n+1)}{an}>1 \end{eqnarray}$ (für alle an>0) wenn an monoton bzw. streng monoton fällt: $\begin{eqnarray} a(n+1)<an \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(n+1)-an<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a(n+1)}{an}<1 \end{eqnarray}$ (für alle an>0) Diese n's sollten eigentlich tiefer gestellt sein, aber ich weiß irgendwie nciht, wie man das macht... Ich hab ne ältere Aufgabe aus meinem Matheheft, die auf jeden Fall stimmt, weil wir die als Beispiel mit meinem Lehrer gemacht haben: $\begin{eqnarray} an=\frac{2n-1}{1-4n} \end{eqnarray}$ -> $\begin{eqnarray} a(n+1)=\frac{2(n+1)-1}{1-4(n+1)}= \frac{2n+1}{-3-4n} \end{eqnarray}$ Aber das ist ja ganz anders, wie ich es vorhin gemacht habe! Wo ist das an in der rekursiven Darstellung?
22.03.2009, 09:41	BErnhArd_P	Auf diesen Beitrag antworten »
also so ganz versteh ich deine frage nicht... Zunächst einmal was ist GTR? Und $\begin{eqnarray} a_{b} \end{eqnarray}$ =a_{b} Du willst also zeigen dass eine Folge streng moonoton steigt/fällt. Dazu musst du zeigen, dass für alle n folgendes gilt: $\begin{eqnarray} a_n < a_{n+1} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a_n > a_{n+1} \end{eqnarray}$ So und was hat das jetzht mit der aufgabe aus dem heft zu tun? Dort habt ihr ja nur $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ bestimmt? MfG

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