komplexe Zahlen

11.09.2006, 18:58

sferres

komplexe Zahlen

Hallo nochmal,

irgendwie ist heute nicht mein Tag. Ich habe hier die nächste Aufgabe vorliegen:

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} (-4-2i)^{5} \end{eqnarray*}$ auf 2 verschiedene Weisen.
Die erste Weise sollte mit Pascalschem Dreieck sein, die 2. Weise mit trigonometrischer Form.

Mit dem Pascalschem Dreieck bekomme ich -320+1760i raus, mit der trigonometrischen Form 339,2-365,7i

Zur tri. Form:
Ich habe mir erst den Betrag errechnet. Der ergibt bei mir Wurzel 12.
Für das Argument habe ich mit arctan (-2/-4)+180°=206,57° rausbekommen. In der trigonometrischen Form habe ich Wurzel12 hoch 5 * (cos(5*206,57)+i*(sin(5*206,57)) mit dem Taschenrechner gerechnet.

Warum habe ich hier 2 unterschiedliche Ergebnisse. Welches ist das richtige, damit ich wenigstens weiß, welchen Weg ich nochmals gehen muss.

Wäre echt toll, wenn ich wieder so schnelle hilfe bekomme, wie vorhin.

MfG
sferres

11.09.2006, 19:02

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Zitat:

Original von sferres
Ich habe mir erst den Betrag errechnet. Der ergibt bei mir Wurzel 12.

Nicht gut, vermutlich hast du $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-4)^2-(-2)^2} \end{eqnarray*}$ gerechnet. Richtig ist aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{(-4)^2+(-2)^2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von sferres
Mit dem Pascalschem Dreieck bekomme ich -320+1760i raus, mit der trigonometrischen Form 339,2-365,7i

Leider beides falsch.

11.09.2006, 19:07

sferres

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RE: komplexe Zahlen
OK, das ist ein Fehler, der Betrag ist tatsächlich Wurzel 20. Dann stimmt auch die trigonometrische Form (überprüft mit dem Taschenrechner). Das neue Ergebnis ist dann 1216,42-1205,86i!

Das ist immernoch einen Kilometer von dem Ergebnis der Rechnung mit dem Pascalschen Dreieck entfernt.

Das Problem ist jetzt also immernoch vorhanden, wenngleich ein Schritt weiter voran.

Weitere Tipps/Anregungen und Hilfen?

Aber welches Ergebnis müsste denn rauskommen? Ich würde den Weg dann gerne nochmal rechnen.

Danke

11.09.2006, 19:11

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Zitat:

Original von sferres
OK, das ist ein Fehler, der Betrag ist tatsächlich Wurzel 20. Dann stimmt auch die trigonometrische Form (überprüft mit dem Taschenrechner). Das neue Ergebnis ist dann 1216,42-1205,86i!

Der Realteil ist jetzt "in der Nähe", der Imaginärteil aber immer noch total falsch.

Übrigens: Wenn man eine komplexe Zahl mit ganzzahligen Real- und Imaginärteil (man spricht da von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ , aber das ist hier unwichtig) zu einer natürlichen Potenz erhebt, muss nach den Rechengesetzen der komplexen Multiplikation zwangsläufig wieder eine Zahl mit ganzzahligen Real- und Imaginärteil herauskommen! Das nur als Kontrolle.

11.09.2006, 19:15

sferres

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RE: komplexe Zahlen
Aber der Weg ist doch der Richtige, oder?

In der trigonometrischen Form potenziere ich den Betrag mit 5 und multipliziere die Winkel mit 5. Wo also bitte ist mein denk-/rechenfehler?

11.09.2006, 19:23

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Zitat:

Original von sferres
Wo also bitte ist mein denk-/rechenfehler?

Ich kann leider von hier aus nicht sehen, wie du

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{20})^5\cdot \sin(5\cdot 206.57^{\circ}) \end{eqnarray*}$

in den Taschenrechner eintippst, dazu reichen meine übersinnlichen Fähigkeiten nicht aus...

P.S.: Du solltest bei den Zwischenergebnissen so genau wie möglich rechnen - was der TR hergibt! Die $\begin{eqnarray*} 206.57^{\circ} \end{eqnarray*}$ sind viel zu ungenau, deswegen kriegst du auch nix Ganzzahliges raus.

Runden, wenn nötig, erst am Ende.

11.09.2006, 19:28

sferres

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RE: komplexe Zahlen
Ich habe sogar folgendes eingetippt:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{20})^{5}*(cos(5*206,57)+i*sin(5*206,57)) \end{eqnarray*}$

Da kommt doch 1216,42 - 1305,86i raus, oder?

11.09.2006, 19:33

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Nein.

11.09.2006, 19:34

sferres

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RE: komplexe Zahlen
OK, wenn ich also alle Nachkommastellen des Taschenrechners mitbeachte, komme ich auf das Ergebnis 1216-1312i.

Bitte schreibe mir (natürlich nur wenn es stimmt), dass es richtig ist.

11.09.2006, 19:39

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Jetzt stimmt's. Jetzt musst du nur noch rauskriegen, wieso du dich bei der algebraischen Berechnungsvariante so verhauen hast.

11.09.2006, 19:41

sferres

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RE: komplexe Zahlen
Danke dir, dass ich tatsächlich einen Vorzeichenfehler drin gehabt habe, verate ich keinem, ist zu ärgerlich.

Das die Rundung mit dem Taschenrechner so dramatisch ist, habe ich nicht bedacht. Werde aber Besserung geloben Augenzwinkern

Danke dir nochmals.
Wink

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