Induktion

21.03.2009, 16:16	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion Moin Moin.. habe hier eine eigentlich einfach Aufgebe komme aber gerade nicht drauf. Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion: $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~(2i-1)= n^2 \end{eqnarray}$ IA: $\begin{eqnarray} n=1\\ \sum_{i=1}^n~(2i-1)=1=n^2 \end{eqnarray}$ IV: Es gelte $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^n~(2i-1)= n^2 \end{eqnarray}$ für ein Beligibes n $\begin{eqnarray} \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ IS: Schluss von n auf n+1 $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1}~=\sum_{i=1}^{n}~(2i -1)+(2(n+1)-1)\overset{IV}=n^2 +(2n+2-1) = n^2+(2n-1) \end{eqnarray}$ bin mir irgendwie nicht sicher ob das richtig ist. Danke Sandro
21.03.2009, 16:21	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion In der letzten Zeile enthält der Ausdruck nach dem letzten Gleichheitszeichen einen Fehler.
21.03.2009, 16:47	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
ah.. das Vorzeichen es ist natürlich $\begin{eqnarray} n^2+(2n+1) \end{eqnarray}$ reicht das als Beweis?
21.03.2009, 16:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast! Du solltest dieses Ergebnis noch mit einer binomischen Formel umformen. Erst dann ist der Schluss von n auf n + 1 offensichtlich.
21.03.2009, 17:34	pr0xy	Auf diesen Beitrag antworten »
klar.. also $\begin{eqnarray} n^2+2n+1 \end{eqnarray}$ entspricht $\begin{eqnarray} a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a = n & b = 1 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} \sum_{i=1}^{n+1} ~(2i-1) = (n+1)^2 \end{eqnarray}$
21.03.2009, 17:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »

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