Normalabstand

21.03.2009, 19:13	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalabstand Hallo Ich muss folgende Formel beweisen: Edit (mY+): Link zu externem Bildcontainer wurde entfernt! Bilder sollen hier direkt hochgeladen werden (im Beitrag: Dateianhänge!)! [attach]10134[/attach] Nun habe ich aber überhaupt keine Idee, wie ich das angehen soll? Die Projektionsformel von p-q auf n0 lautet ja: ((p-q)/\|\|n0\|\|²)n0 also insgesamt (p-q)n0, wenn ich davon den Betrag bilde, habe ich dp, das ist mir noch klar. Nur jetzt weiß ich nicht, wie ich diese Formel beweisen soll. Ich habe mir gedacht, dass man den Pythagoras anwenden könnte, aber ich bin ratlos. Danke schonmal im Voraus für eventuelle Hilfestellungen! LG
21.03.2009, 20:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fußpunkt der Normalen sei N und wir verschieben den Vektor QP dorthin. $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ sei der Winkel, den die beiden Vektoren n0 und QP = p-q miteinander einschließen. Dann gilt in dem rechwinkeligen Dreieck $\begin{eqnarray} \cos \varphi = \frac{d_p}{\|p - q\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_p = \ldots \end{eqnarray}$ Dann erinnern wir uns an die Definition des skalaren Produktes: $\begin{eqnarray} n_0 . (p - q) = \|n_0\| . \|p - q\| \cos \varphi \end{eqnarray}$ Berechne daraus $\begin{eqnarray} \cos \varphi \end{eqnarray}$ und setze dies oben ein ... noch durch \|p - q\| kürzen ... mY+ Bemerkung: Wie hier für die Gerade in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_2 \end{eqnarray}$ , gilt das Gleiche auch für eine Ebene in $\begin{eqnarray} \mathbb{R}_3 \end{eqnarray}$ .
21.03.2009, 21:27	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mYthos, vielen lieben Dank für deine Hilfe, ich grübel schon den ganzen Nachmittag an diesem blöden Beispiel! Herzlichen Dank, das ist wirklich sehr lieb von dir! Wünsche dir noch einen schönen Abend.
22.03.2009, 10:11	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normalabstand Hallo Ich musste dazu noch ein Fortsetzungsbeispiel lösen und bitte um Durchsicht meiner Lösung. a. ) Wie lautet die Formel für dP für eine Gerade g in der Ebene mit der Darstellung g: ax + by = c ? Da ja der Normalvektor in dem Fall die Koordinaten (a,b) hat, kann ich in die dp Formel folgendes einsetzen: $\begin{eqnarray} d_p=\left \| \frac{(p-q) \cdot ((a,b)}{\sqrt{a²+b²}}\right \| \end{eqnarray}$ Richtig? Beweise: Ist g eine Gerade mit der Darstellung ax + by = c, so besitzen die zu g parallelen Geraden im Abstand e die Darstellung: g1:ax+by =c+esqr(a²+b²) bzw. g2:ax+by =c-esqr(a²+b²) . (Man verwende .a) Das heißt, ich drücke mir hier g1 und g2 so aus, dass ich den Normalvektor ablesen kann, der in dem Fall dann ja bei g1 z.B. (a/(esqr(a²+b2), b/(esqr(a²+b2)) wäre und setze das dann in die obige Gleichung ein. Dann kürzt sich alles so weg, dass wieder der Einheitsvektor des Normalvektors rauskommt und damit wäre dies bewiesen, oder? Edit (mY+): LaTex verbessert.
22.03.2009, 11:07	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz in a) ist zwar richtig, du solltest aber das Skalarprodukt eben weiter ausführen und somit auf die Koordinatenform übergehen: $\begin{eqnarray} ax + by - c = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ax + by - c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0 \ ... \text{ HNF} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} d_p = \frac{ax_p + by_p - c}{\sqrt{a^2+b^2}} \ ... \text{ Koordinaten von P statt x, y eingesetzt} \end{eqnarray}$ -------------------------------------------- Das andere verstehe ich nicht ganz ... weshalb ist e im Nenner? Es gibt zwei Möglichkeiten: 1. Du kannst wieder von der HNF ausgehen: $\begin{eqnarray} \frac{ax + by - c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{ax + by}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}$ Vom Nullpunkt hat diese Gerade jenen Abstand, der von dem Term rechts beschrieben wird. Die dazu im Abstand e parallel verlaufenden Geraden haben demnach vom Nullpunkt die Abstände $\begin{eqnarray} d_{1,2}=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm e \end{eqnarray}$ Somit lauten die beiden Geraden $\begin{eqnarray} g_{1,2}: \ \frac{ax + by}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \pm e \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{1,2}: \ \frac{ax + by}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{c \pm e\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_{1,2}: \ \frac{ax + by - c \mp e \sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2}}=0 \end{eqnarray}$ oder 2. Alle neuen Punkte P(x; y) auf den beiden parallelen Geraden haben von der gegebenen Geraden den Abstand e: $\begin{eqnarray} \pm e = \frac{ax + by - c}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Wenn du das fertig rechnest, musst du auf das selbe Resultat kommen. Der zweite Weg ist - im Gegensatz zum ersten - wesentlich kürzer, beruht aber eben auf einer etwas anderen Überlegung. mY+
22.03.2009, 13:03	Viriditas	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Überlegungen! Was ich nun nicht ganz verstehe ist die Koordinatenform. $\begin{eqnarray} ax + by - c = 0 \end{eqnarray}$ ist die Geradengleichung, aber wie kommt man von dieser auf $\begin{eqnarray} \frac{ax + by - c}{\sqrt{a^2+b^2}} = 0 \ \end{eqnarray}$ ? Heißt das, ich multipliziere die Geradengleichung einfach mit dem Einheitsvektor des Normalvektors? Was ich bei Punkt 2.) gemacht habe: Ich habe damit wohl einfach nur überprüft, ob die Geraden, bzw. die Normalvektoren parallel sind. Aber das wird ja schon vorausgesetzt, insofern habe ich mal wieder nicht die Instruktion verstanden (wie so oft leider, das ist meist das größte Manko)
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22.03.2009, 14:05	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du dividierst die - auf Null gebrachte - Geradengleichung einfach durch den Betrag des Normalvektors! mY+

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