(Rotations)Matrizen

21.03.2009, 18:31	MuffinVIII	Auf diesen Beitrag antworten »
(Rotations)Matrizen Guten Abend! Ich muss in nächster Zeit eine Arbeit über Matrizen abgeben. Die Grundrechenarten habe ich bereits weitgehend behandelt (und verstanden). Neben einigen Fragen zu Anwendungen von Matrizen verstehe ich aber vor allem das Kapitel –Drehmatrizen- bzw. –Rotationsmatrizen- noch nicht. Wenn mir jemand vor allem die Grundlagen von Drehmatrizen einfach(!) verständlich erläutern kann wäre ich sehr dankbar. Auch (für Einsteiger) verständliche Internetseiten wären hilfreich. (Ich möchte auf diesem Weg keiner eigenen Recherche entgehen, ich habe bereits mehrere Bücher und Internetseiten intensiv durchgearbeitet!) Edit (mY+): Hilfeersuchen im Titel sind unnötig! Wurde entfernt.
23.03.2009, 08:22	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz allgemeine ist eine Matrix A eine Abbildung, die vermöge der Gleichgung Ax=y einem Vektor x einen anderen Vektor y zuordnet. Wenn die Matrix A zeitabhängig ist, also A=A(t), dann kann man dies als zeitabhängige Abbildung Ax=y auffassen, also als als Bewegung eines Punktes. Wenn bei dieser Bewegung der Abstand des Punktes zum Nullpunkt unverändert bleibt, handelt es sich um eine Drehung. Mit anderen Worten: Eine Drehung ist dadurch charakterisiert, dass der Betrag des Vektor x erhalten bleibt. Drückt man dies mathematisch mit dem Skalarprodukt aus, heißt das (Ax\|Ax)=(x\|x) oder (x\|A°Ax)=(x\|x), wobei A° die Transponierte von A ist. Das ist gleichbedeutetnd mit AA’=E (=Einheitsmatrix). In Worten bedeutet AA°=E, dass Zeilen und Spalten der Matrix A senkrecht stehen und den Betrag 1 haben. Dies kann man als Definition einer Drehmatrix auffassen. Solche Matrizen haben offenbar immer die Determinante +1 oder -1. Aus physikalischer Sicht fordert man zusätzlich noch det(A)=1, also nicht (-1). Das bedeutet, dass das gedrehte Objekt nicht gespiegelt werden darf. Würde man dagegen det(A)=-1 zulassen, könnte aus einem gedrehten „rechten Handschuh“ ein „linker Handschuh“ werden. Lässt man dagegen Spiegelungen zu, also det(A)=+/-1, dann spricht man anstelle von Drehmatrizen von orthogonalen Matrizen. einfaches Beispiel: Will man die Drehung eines Punktes innerhalb einer Ebene um den Punkt (0\|0) im Abstand R beschreiben, so wird dies durch die Abbildung y=Ax mit folgender Drehmatrix A geleistet: D11=Rcos(wt)____D12=Rsin(wt) D21=-Rsin(wt)____D22=Rcos(w(t) w kann man als Winkelgeschwindigkeit der Drehung auffassen. Die 1.Ableitunng dieser Drehung lautet y’=A’’x Dies ist gerade die momentane Geschwindigkeit des Punktes während der Drehung. Hierbei erhält man die Matrix A’ durch einfaches Ableiten D11’=-wRsin(wt)_____D12’=wRcos(wt) D21’=+wRcos(wt)____D22’=-wRsin(w(t) Offenbar ist die momentane Geschwindigkeit y’=A’’x senkrecht zum Ortsvektor x, also (A’x\|x)=0, wie es bei Drehbewegungen erwartet wird, denn die Geschwindigkeit ist immer tangential. Nochmaliges Ableiten ergibt die Beschleunigung y’’=A’’x. Die Matrix A’’ lautet also D11’’=w^2Rcos(wt)____D12’’=w^2Rsin(wt) D21’’=-w^2Rsin(wt)____D22’’=w^2R*cos(w(t) Offenbar ist die Matrix A’’ die mit –w^2 multiplizierte Matrix A. Physikalisch bedeutet dies, dass bei deiner Drehung der momentane Ortsvektor x und die Beschleunigung A’’x in die gleiche Richtung zeigen – aber mit entgegengesetztem Richtungssinn. Dies ist ebenfalls charakteristisch für Drehungen.

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