Beweisversuch für die Nichtexistenz einer Lösung einer Bruchgleichung

21.03.2009, 22:04	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisversuch für die Nichtexistenz einer Lösung einer Bruchgleichung Moin Leute. Da hab ich doch letztens geschrieben $\begin{eqnarray} \frac{1}{a+b}\not=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{eqnarray}$ und mich dann gefragt, ob das nicht nur im Allgemeinen so ist, sondern für jedes Paar von reellen Zahlen gilt. Anders ausgedrückt: Existieren Lösungen für folgende Gleichung? $\begin{eqnarray} \frac{1}{a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b},\quad a,b\in\mathbb{R}\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ Meine Vermutung war, dass kein solches Lösungspaar existiert, das wollte ich aber bewiesen haben und hab das auch direkt probiert. $\begin{eqnarray} \frac{1}{a+b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow\frac{1}{a+b}=\frac{a+b}{ab} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow ab=(a+b)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow(a+b)^2-ab=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^2+b^2+ab=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-1 \end{eqnarray}$ Nun zeige ich, dass $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2 \end{eqnarray}$ , wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2,\quad ab>0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0 \end{eqnarray}$ ist wahr, da ein Quadrat nie negativ ist. Nun zeige ich, dass $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2 \end{eqnarray}$ , wenn a positiv und b negativ oder a negativ und b positiv ist: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\leq -2,\quad ab<0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^2+b^2\geq -2ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (a+b)^2\geq 0 \end{eqnarray}$ ist ebenfalls wahr, da ein Quadrat nie negativ ist. Damit ist gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-1 \end{eqnarray}$ und damit auch die Ausgangsgleichung keine Lösung hat. Stimmt mein Beweis so? Gebt mir bitte Tipps, was man noch verbessern könnte und welche anderen Möglichkeiten (kürzere und elegantere) es gibt, einen Beweis für meine Behauptung zu erbringen. Würde mich über Kritik, Anregungen etc. sehr freuen. Thx, Pavel
21.03.2009, 23:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mmpfff, das lange Dings da schreckt mich! Ich würde den Beweis (auch) indirekt, aber wesentlich kürzer - ungefähr in 4 Zeilen - ausführen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a+b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b(a+b) + a(a+b) = ab \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a+b)^2 = ab \end{eqnarray}$ Daraus folgt: $\begin{eqnarray} ab > 0 \end{eqnarray}$ Nun ausmultiplizieren, reduzieren: $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 + ab = 0 \end{eqnarray}$ Alle drei Summanden sind positiv und können demnach nicht 0 ergeben. Widerspruch! Jupp? mY+
21.03.2009, 23:59	Pavel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh, sehr schön, vielen Dank! Das ist in der Tat viel kürzer und eleganter. Das hätte ich eigentlich auch selbst sehen müssen, immerhin kamen die beiden für deine Argumentation wichtigen Gleichungen auch in meinem Beweis schon in den ersten paar Umformungen vor. Na hoffentlich bekomm ich bald ein Auge für diese Dinge, noch fehlt mir da irgendwie die Übung. MfG, Pavel

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