Rechnen mit Mannigfaltigkeiten

21.03.2009, 22:45	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Mannigfaltigkeiten guten Abend, alle zusammen, Ich gehe zur Zeit den Vorbereitungszettel für meine Höhere Mathematik für Physiker Klausur durch, und merke, dass ich nicht wirklich einen Durchblick habe wenn es darum geht tatsächlich etwas zu berechnen. Den Zettel habe ich angehängt, ich würde gerne in diesem Thread jeweils die Fragen und Aufgaben zu den Mannigfaltigkeiten bearbeiten und um Korrektur bitten. (jeweils Römisch II auf dem Blatt) €dit/ hier noch mal der Link zur pdf Fragenteil: 1. Der Rang der Jacobimatrix muss laut dem Dimensionssatz n-k sein. 2. Man sucht sich irgendeine Spalte der Jacobimatrix aus und setzt die Koordinaten von p ein. Da es k Spalten gibt, gibt es pro Basis k mögliche Tangentialvektoren 3. Die Spalten der Jacobimatrix bilden eine Basis, diese ist nicht zwingend normiert. 4. $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ hat die Gestalt $\begin{eqnarray} \omega = f_1dx+f_2dy \end{eqnarray}$ Mit Hilfe des Graßmann Kalküls (siehe I.2 auf dem Zettel) finden wir die Bedingung $\begin{eqnarray} \frac{\partial f_2}{\partial x}-\frac{\partial f_1}{\partial y}=1 \end{eqnarray}$ Also wäre eine mögliche Lösung $\begin{eqnarray} \omega = -ydx+xdy \end{eqnarray}$ Vorfaktor wie in der Aufgabenstellung schon vorgezogen 5. Jetzt hat $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} a_1dxdy+a_2dxdz+a_3dydz \end{eqnarray}$ Das Anwenden des Dachproduktes auf $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ liefert $\begin{eqnarray} d\omega = (\frac{\partial a_1}{\partial z}-\frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial x_3}{\partial x})dxdydz \end{eqnarray}$ , entsprechend also die Bedingung $\begin{eqnarray} \frac{\partial a_1}{\partial z}-\frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial x_3}{\partial x}\stackrel{!}{=}\frac{\partial a_1}{\partial x}+\frac{\partial a_2}{\partial y}+\frac{\partial a_3}{\partial z} \end{eqnarray}$ Die Aufgaben bearbeite ich im nächsten Post, vielleicht kann einer solange mal ein Kommentar abgeben ob das so passt bis jetzt gruß, bishop ps: Da das Forum keine pdf Uploads zulässt, könnt ihr das Blatt direkt von der Fakultät hier laden
22.03.2009, 00:41	bishop	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenteil: 1. Die erste Funktion beschreibt eine 2 Mannigfaltigkeit, da die Jacobimatrix nur ein Vektor ist und als solcher Rang n-k=3-2=1 hat Ich weiss, dass die zweite Funktion keine Mannigfaltigkeit beschreibt obwohl der Rang der Jacobimatrix korrekt 1 ist. Es hatte etwas mit der unstetigkeit der Funktion im Nullpunkt zu tun, ich bin mir aber sehr unsicher 2. Die Jacobimatrix liefert den Vektor $\begin{eqnarray} D=\binom{1-cos(t)}{sin(t)} \end{eqnarray}$ Durch Einsetzen des Punktes in die Zykloidengleichung findet man $\begin{eqnarray} t=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ , wiederum in D eingesetzt liefert das den Vektor $\begin{eqnarray} D(\frac{\pi}{2})=\binom{0}{1} \end{eqnarray}$ 3. Hier wüsste ich zwar wie man das in Kugelkoordinaten macht in Paramterdarstellung, aber nicht wie es in dieser Koordinatenform geht. Oder geht das vielleicht gar nicht? 4. Hier ist es genauso, ich könnte das in Vektorieller Form rechnen, aber nicht so. Wie sieht z.B das genaue Integral auf der rechten Seite aus, das man auswerten muss? 5. Man bildet das Kreuzprodukt der winkelabhängigen Vektoren der Jacobimatrix in Kugelkoordinaten, das liefert direkt das Flächenelement, genauso beim Zylinder. Für die Kugel ist dann $\begin{eqnarray} d\vec\Omega=r²\cdot\begin{pmatrix}sin(\theta)sin(\varphi)cos(\varphi) \\ sin²(\varphi)sin(\theta) \\ sin(\theta)sin(\varphi)cos(\theta)cos(\varphi)+sin(\theta)sin²(\varphi) cos(\theta)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für den Zylinder entsprechend $\begin{eqnarray} d\vec\Omega=\rho\cdot\begin{pmatrix}cos(\varphi) \\ sin(\varphi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mir macht also der Umgang mit Mannigfaltigeiten in Koordinatendarstellung am Meisten Probleme, wäre sehr freundlich, wenn jemand einen Blick auf meine Lösungen werfen kann und mir weiterhilft wo's bei mir hakt gruß bishop

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