Extremwertaufgabe zum Knobeln

22.03.2009, 12:56

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Extremwertaufgabe zum Knobeln

Hallo

Wink

Wir haben letzte Woche ein paar Extremwertaufgaben in der Schule bekommen aber mit einer komme ich iwie auf keine grünen Zweig unglücklich

unglücklich

"Ein oben offener Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt mit einer Fläche von 2m². Welche Abmessungen muß der Querschnitt haben, damit die Betonierungsarbeiten möglichst geringe Kosten verursachen, wenn die Kosten für die Seitenflächen doppelt so hoch sind wie die für den Boden?"

Meine Hauptbedingung wäre: A=a*b ; quasi die Fläche.

Aber nu komme ich nich mit meiner Nebenbedingung weiter, wäre für ein paar Tips dankbar verwirrt

verwirrt

lg

22.03.2009, 13:11

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Extremwertaufgabe zum Knobeln

Zitat:

Meine Hauptbedingung wäre: A=a*b ; quasi die Fläche.

Aber nu komme ich nich mit meiner Nebenbedingung weiter

Kein Wunder, denn das Obere ist die Nebenbedingung, die Dir ermöglicht, eine der Variablen zu ersetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Hauptbedingung musst Du erst noch erstellen ....
Sie muss eine Funktion sein, die die Kosten, die ja in Abhängigkeit von den Seiten (-flächen) stehen, beschreibt.

Was kannst Du da anbieten?

LG sulo

22.03.2009, 13:33

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

ouh...thx,

würde sagen, dies wäre meine Hauptbedingung: U= 2*(a*b)

und dann müsst ich meine Nebenbedingung 2m²=a*b entweder nach a oder nach b umstellen und in meine HB einfügen?

22.03.2009, 13:37

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

Zitat:

würde sagen, dies wäre meine Hauptbedingung: U= 2*(a*b)

1. Mit dieser Formel würdest Du keinen Umfang, sondern eine Fläche berechnen ...
2. Der Kanal ist oben offen, hat keinen Deckel ...

Zitat:

und dann müsst ich meine Nebenbedingung 2m²=a*b entweder nach a oder nach b umstellen und in meine HB einfügen?

Jo

Freude

(Wobei Du die m^2 ruhig weglassen kannst, sie stören nur beim Rechnen)

22.03.2009, 17:34

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Quark, ich Dämel Hammer

Hammer

U=2*(a+b) ist der Umfang und des wäre dann meine HB

meine NB stelle ich mal nach a um:

a=b/2

nun setze ich sie in die HB ein.

U=2*(b/2+b)

nun frag ich mich wie ich zu einer lösung komme verwirrt

verwirrt

22.03.2009, 17:45

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

... auf diese Art jedenfalls nicht auf die Richtige unglücklich

unglücklich

Ich sagte doch:

Zitat:

2. Der Kanal ist oben offen, hat keinen Deckel ...

Das solltest Du schon beachten bei der Aufstellung deiner HB

Anzeige

22.03.2009, 18:15

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab mir des grad mal aufgezeichnet, iwie hängts bei mir an der HB.

ich hab mir den Querschnitt jetzt so zusammen gesetzt:

A= 2*(a*b) ..damit hätte ich den Querschnitt für die 2 Seitenflächen
A= a*b ..das wäre quasi mein Querschnitt für den Boden

meine HB setzt sich dann folgendermaßen zusammen:

A= 2*(a*b)+a*b

22.03.2009, 18:22

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, Du verstehst offenbar nicht, was mit Querschnitt gemeint ist und verkomplizierst die Sache ....

Gefragt ist nach einer solchen Figur: I__I, also 2 Seiten (= b), 1 Boden (= a). Mehr nicht.

Jetzt musst Du nur noch berücksichtigen, dass die Seiten doppelt so teuer wie der Boden sind und kannst die HB für die Kosten aufstellen.

22.03.2009, 18:38

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

genau so hab ichs mir aufgezeichnet, aber ich habs mir verkompliziert indem ichs mit zwei seitenflächen probiert habe.

meine HB wäre dann wie folgt: K=a+[b*(2*a)]

glaub ich steh leicht aufm Schlauch -.-

22.03.2009, 18:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke auch, wir sollten mal die HB aufstellen, damit die Aufgabe noch gelöst werden kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da die Kosten für die Seiten doppelt so hoch sind wie für den Boden, gilt:

Also: K(a,b) = 2b + a + 2b ==> K(a,b) = 4b + a

Das ist die HB. Nun bist Du dran ... smile

smile

22.03.2009, 22:46

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie sehe ich das alles ein wenig zu kompliziert Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zuerst stelle ich die NB um:

a=2/b

Nun setze ich meine NB in die HB ein:

K(a,b)= 4b+ (2/b)

Dann mach ich eine Funktionsgleichung draus:

f(x)= 4x+ (2/x)

f(x)= 4x+3

Dann mach ich die erste Ableitung:

f'(x)=4

aj..un nu 0o

iwie hab ich mir wohl ein x geklaut -.-"

23.03.2009, 09:17

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schritt bei Deiner Klammerauflösung ist falsch:
f(x)= 4x+ (2/x) ==> das muss so stehen bleiben, da kannst Du nix zusammenfassen

f(x)= 4x+3 ==> wie Du darauf kommst .... verwirrt

verwirrt

Diese Funktion musst Du ableiten: $\begin{eqnarray*} f(x) = 4x + \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

23.03.2009, 16:30

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mann, ich muss mich grad erst mal für die Geduld bedanken Augenzwinkern

Augenzwinkern

so. des wäre meine Ableitung:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4-\frac{2}{x²} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich sie ja Null setzen:

$\begin{eqnarray*} 4-\frac{2}{x²}=0 \end{eqnarray*}$

Dann nach Null auflösen:

$\begin{eqnarray*} 4=\frac{-2}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4*x²=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0,707 \end{eqnarray*}$

Is des soweit richtig?

23.03.2009, 18:25

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo

Freude

(wobei es genauer ist, "Wurzel aus 2" zu schreiben, statt 0,707)

23.03.2009, 19:26

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ja die Wurzel aus 0,5 gezogen Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber trotzdem wärs genauer, des stimmt.

Dann geh ich mal weiter:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ ist ja dann mein Extremwert

nun bestimme ich die zweite Ableitung und prüfe auf ein lokales Minimum oder Maximum:

$\begin{eqnarray*} f'=4-\frac{2}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-\frac{2x}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-\frac{2x}{x²}) < 0 \end{eqnarray*}$

Also ist das mein lokales Maximum.

mh..wie komme ich den nu an meine Abmessung?

ich vermute mal das ich die $\begin{eqnarray*} x=\sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ irgendwo einfügen muss, aber richtig sicher bin ich mir da jetz nich.

23.03.2009, 19:36

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine zweite Ableitung stimmt nicht ...

edit: Oder suchst Du die maximalen Kosten? Big Laugh

Big Laugh

23.03.2009, 20:18

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Warum fragst du wegen den Kosten, ist die zweite Ableitung falsch aufgelöst?
Eigentlich suche ich ja die Abmessungen des Querschnitts.

23.03.2009, 20:25

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast eine Extremwertaufgabe vorliegen, die Kosten sollen minimal sein. Deswegen doch die Rechnung mit Ableitung usw!

Und du suchst genau die Abmessungen für den Querschnitt, bei denen die Kosten für die gegebene Querschnittsfläche minimal sind.
Hast Du die Aufgabenstellung nicht verstanden? verwirrt

verwirrt

Wenn Du wissen willst, was Du nun mit den x = Wurzel aus 2 anstellen sollst, dann schau noch mal, für was Du x eingesetzt hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ja, die Ableitung nach f ''(x) stimmt nicht, deshalb kriegst du auch ein Maximum raus, was aber Quatsch ist (maximale Kosten^^), denn die Lösung x = Wurzel aus 2 ist das Minimum (hab ich überprüft)

23.03.2009, 20:46

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

argh...gibts noch andere Möglichkeiten als die Quotientenregel?
Weil genau die hab ich genutzt..oder scheinbar falsch unglücklich

unglücklich

23.03.2009, 20:51

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich rechne sowas lieber mit der Produktregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4-\frac{2}{x²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= 4 -2x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= (-2) -2x^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= 4x^{-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)= \frac{4}{x^3} \end{eqnarray*}$

edit: ist gar nicht die Produktregel, ich habe einfach ein Potenzgesetz angewendet ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das war bloß meine automatische Antwort auf Deine Aussage, dass Du mit der Quotientenregel gerechnet hast.
Hast Du nämlich auch nicht getan, nur einfach falsch abgeleitet ...

23.03.2009, 21:17

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Finde deine Rechnung um einiges einleuchtender und einfacher, zumal ich nich drauf gekommen wäre mir die erste Ableitung in der Hinsicht zu vereinfachen, das ich erst mal den Bruch "wegmach"..

ich bin da iwie immer auf dem komplizierten Weg Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f''=\frac{4}{x³} >0 \end{eqnarray*}$

nun habe ich endlich das lokale Minimum.

Da ich ja meine Abmessungen haben möchte, muss ich mit $\begin{eqnarray*} A=a*b \end{eqnarray*}$ rechnen.

Doch zuvor:

Mein x ist die $\begin{eqnarray*} \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$ , so kann ich sie einfach in meine erste Funktion einsetzen einsetzen, oder?

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{0,5})=4*\sqrt{0,5}+\frac{2}{\sqrt{0,5} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{0,5})=5,6568 \end{eqnarray*}$

Dieses Ergebniss wäre dann mein a.

nun muss ich den b-Wert haben, dazu stelle ich nach b um

$\begin{eqnarray*} b=\frac{2}{5,6568} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=0,353 \end{eqnarray*}$

Wäre des mein Ergebniss?

Die Probe passt

edit: wollts grad schreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.03.2009, 21:36

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hattest gesetzt:

Zitat:

K(b)= 4b+ (2/b)
Dann mach ich eine Funktionsgleichung draus:
f(x)= 4x+ (2/x)

Also gilt: x = b!

Dein x gibt Dir direkt den Wert für b an.

Und a kannst Du ausrechnen mit:

Zitat:

meine NB stelle ich mal nach a um: a=b/2

In die Funktion eingesetzt würde es Dir etwas über die Kosten sagen, aber wir haben keine Preise, von daher ist das überflüssig.
Du berechnest nur die Längen der Seiten a und b.

23.03.2009, 21:45

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

dann hätte ich:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{0,707}{2} \end{eqnarray*}$

so wäre es dann wohl. aber ich komme mit der Probe nicht parat, bzw nich auf die 2m²

23.03.2009, 22:09

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Pass auf, da muss uns ein Fehler unterlaufen sein.

a x b = 2, also gilt: a = 2/b

Das hast Du ja auch so in der Gleichung und in der Funktion verwendet, deswegen ist es mir eben nicht aufgefallen.

Du musst also rechnen: a = 2 : 0,707...

Und wenn wir schon beim Fehlerfinden sind: 0,707 ist nicht Wurzel aus 2 sondern die Hälfte von Wurzel aus zwei, ich hatte das bloß bei mir so notiert, weil ich das für 2b (2 Seiten) geschrieben hatte.

26.03.2009, 16:07

Ken1987

Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke für deine Hilfe Wink

Wink

werd mich damit jetzt mal weiter beschäftigen Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »