Funktion nicht LEbesque Integrierbar

22.03.2009, 13:22

Hunter

Funktion nicht LEbesque Integrierbar

Hallo ,
ich hätte da mal eine kurze Frage.
Wieso ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x^{-2}, & x \neq 0\\0, & x=0\\\end{cases} \end{eqnarray*}$ nicht Lebesque Integrierbar ?
Wäre echt nett wenn mir das jemand kurz erklären könnte.

Danke schon mal

22.03.2009, 19:49

Dual Space

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RE: Funktion nicht LEbesque Integrierbar
Betrachte doch mal

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varepsilon\to 0}\int_\varepsilon^R x^{-2}\dd x \end{eqnarray*}$

für beliebiges R>0.

23.03.2009, 12:48

Hunter

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Das uneigentliche Riemann Integral existiert hier nicht, darum ist die Funktion nicht Lebesque Integrierbar.

23.03.2009, 15:33

Dual Space

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Naja ... so stimmt die Antwort noch nicht. Dafür gibt es Gegenbeispiele.

Der Punkt ist (lax gesprochen), dass für jede(!) Modifikation (Änderung auf Nullmengen) $\begin{eqnarray*} \overline{f} \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{\varepsilon\to 0}\int_\varepsilon^R \overline{f}(x)\dd x=\infty \end{eqnarray*}$

gilt.

23.03.2009, 15:49

Hunter

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das Integral darf nicht den Wert von unendlich annehmen ? das dachte ich mir auch schon

23.03.2009, 15:59

WebFritzi

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"sich denken" und "wissen" sind zwei verschiedene paar Schuhe. Schau in dein Skript zur Definition der Lebesgue-Integrierbarkeit.

23.03.2009, 16:13

Hunter

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Ja es ist so definiert dass das Integral kleiner unendlich ist.

23.03.2009, 21:09

Dual Space

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Du musst aber nachschauen, wie eben dieses Lebesgue-INTEGRAL definiert ist.

23.03.2009, 21:56

WebFritzi

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Nee, das ist jetzt schon in Ordnung so. Ein messbares f ist per Definition dann integrierbar, wenn $\begin{eqnarray*} \int\,|f|\,dx < \infty. \end{eqnarray*}$ Dass das Lebesgue-Integral einer stetigen Funktion auf einem kompakten Intervall dem Riemann-Integral entspricht, wissen wir. Angenommen, das obige f sei über [0,oo) Lebesgue-integrierbar. Dann auch über [0,1] (folgt aus Monotonie des Integrals). Die Funktionen

$\begin{eqnarray*} f_n := \chi_{\left[ \frac 1 n,1\right]}\,f \end{eqnarray*}$

konvergieren punktweise monoton wachsend gegen f auf [0,1]. Also gilt nach Beppo Levi

$\begin{eqnarray*} \int_{[0,1]}\,f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\int_{[0,1]}\,f_n(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\int_{1/n}^1\,f(x)\,dx. \end{eqnarray*}$

Aber leider existiert dieser Grenzwert nicht. Widerspruch!

23.03.2009, 22:16

Hunter

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Danke für das Beispiel Web Fritzi. Den Satz von Beppo Levi hatten wir zwar nicht in der Vorlesung, was mich etwas verwundert. Aber in meinem Buch werde ich mir das noch genauer ansehen.
Habs auf jedenfall jetzt verstanden.

23.03.2009, 22:49

WebFritzi

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Gerne. Aber Beispiel? Ich bezog mich eigentlich auf deine Funktion f von ganz oben.

23.03.2009, 23:13

Hunter

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Ich weiß, es ging auch nur darum, dass dus nochmal Formal hingeschrieben hast.

23.03.2009, 23:24

WebFritzi

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OK, aber guck dir den Beppo ruhig mal an. Das ist ein wichtiger Satz.