Kombinatorikproblem

22.03.2009, 13:44

Duedi

Kombinatorikproblem

Hi!
Mache grad ein paar Abiaufgaben und habe irgendwie einen Hänger bei folgender Aufgabe:

Auf einem Flughafen werden die aufgegebenen Gepächstücke unabhängig voneinander auf ein Förderband gelegt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gepäckstück das Ziel München hat, sei 0.25.

Nun werden 10 aufeinanderfolgende Gepäckstücke betrachtet. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereigenisse:
...
$\begin{eqnarray*} E_4 \end{eqnarray*}$ : "Genau drei Gepäckstücke haben München als Ziel, wobei mindestens zwei dieser drei direkt hintereinanderliegen.

Hätte das erstmal in zwei unvereinbare Unterereignisse aufgeteilt (bezogen auf das "mindestens", nennen wir sie A ("genau dieser zwei direkt hintereinander") und B ("genau drei hintereinander").

B ist recht leicht zu berechnen, indem man diese drei Gepäckstücke als einziges auffasst, also:

$\begin{eqnarray*} P(B) = \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 0.25^3 \cdot 0.75^7 \approx 1,67 % \end{eqnarray*}$

Probleme habe ich nur, A elegant darzustellen. Mit Abzählen habe ich es auch schon versucht, bekomme jedoch immer etwas anderes raus als richtig wäre.

Hatte es mir so überlegt: ("M" bedeutet "München", "_" ein beliebiges anderes Ziel)

M M _ M _ _ _ _ _ _
M M _ _ M _ _ _ _ _
M M _ _ _ M _ _ _ _
... 7 Möglichkeiten

_ M M _ M _ _ _ _ _
_ M M _ _ M _ _ _ _
... 6 Möglichkeiten
... 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Mgl.

So, das hatte ich bisher ausprobiert. Gerade ist mir aber noch etwas anderes eingefallen: Habe ja noch die Kombination vergessen, in der zuerst das einzelne Gepäckstück, dann erst das Paar auftaucht, also:

M _ M M _ _ _ _ _ _
M _ _ M M _ _ _ _ _
... 7 Möglichkeiten

_ M _ M M _ _ _ _ _
_ M _ _ M M _ _ _ _
...
... 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 Mgl.

Insgesamt käme ich dann auf das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} P(A) = 2\cdot(7+6+5+4+3+2+1)\cdot 0.25^3\cdot 0.75^7 \approx 11, 68% \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} P(E_4) = P(A) + P(B) \approx 13, 35% \end{eqnarray*}$

Habe das gerade kontrolliert und es ist richtig, aber: Gibt es eine eleganterre Möglichkeit?

22.03.2009, 15:09

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kombinatorikproblem

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E_4 \end{eqnarray*}$ : "Genau drei Gepäckstücke haben München als Ziel, wobei mindestens zwei dieser drei direkt hintereinanderliegen.

1. Variante: Alle 3 hintereinander => 8 Möglichkeiten

2. Variante: 1 und 2 getrennt.

2a. 2er auf 1,2 oder auf 9,10 => 2x 7 Möglichkeiten

2b. 2er auf 2,3 bis 8,9 => 7x 6 Möglichkeiten

Macht insgesamt 64.

22.03.2009, 15:49

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

hm wäre nie drauf gekommen, die Fälle 2a und 2b zu trennen.

Aber jetzt isses mir klar, danke dir

22.03.2009, 19:38

Auf diesen Beitrag antworten »

hi duedi,

eine alternative, wie ich denke:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \{ \{ xxx\},\{ xx\},\{ x\} = \neg \{ xx\} \} \end{eqnarray*}$

grüße

_t

22.03.2009, 19:43

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

bitte um Erläuterung, $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}= 120\neq 64 \end{eqnarray*}$

25.03.2009, 02:03

Auf diesen Beitrag antworten »

hi duedi,

diese alternative war eine "logische vermutung".

die menge $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bildet alle kombinationen von x ab, dh, du hast die mengen xxx, x xx u x (nicht benachbart).
alle die nicht als xxx liegen, liegen als x xx oder x , also verringert sich die menge $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ um die xxx kombinationsmenge. es bleibt noch die x xx u. x übrig.
die x sind die nicht benachbarten, dh, sie sind eine negation auf die menge der x xx (die noch benachbarte haben). da es keine weiteren kombinationsmengen von x mehr gibt, müssen die mengen x xx u . x gleich mächtig sein.

$\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \} = \{\{xxx\},\{xx\},\{x\}=\neg \{xx\}\} = \{120\} =\{ \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} \}+ \{xx\} + \neg \{xx\} \Rightarrow \{xx\} = \neg \{xx\} = \{x\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {120 - 8} {2} = \{xx\} = \{x\} = 56 \end{eqnarray*}$

grüße

_t

ps: hab die einzelnen mengen nicht von hand gezählt, darum vermutung.

Neue Frage »

Antworten »

Kombinatorikproblem

Verwandte Themen