Problem bei vollständiger Induktion

22.03.2009, 15:22

Zaubermaus

Problem bei vollständiger Induktion

Hallo zusammen,
wer kann mir bei folgendem Problem weiterhelfen?

Es soll bewiesen werden, dass folgende Formel für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{i(i+1)} = 1 - ~ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:
$\begin{eqnarray*} n = 1 \end{eqnarray*}$
Ergebnis beiderseits: 1/2

Induktionsannahme:
Für $\begin{eqnarray*} n >=0 \end{eqnarray*}$ gilt ebenfalls $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{i(i+1)} = 1 - ~ \frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich setze also n + 1 in die Formel ein und erhalte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~ \frac{1}{i(i+1)} = 1 - ~ \frac{1}{(n+1)+1} = 1 - ~ \frac{1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles klar.

der nächste Schritt bereitet mir allerdings Probleme. Die dokumentierte Lösung zeigt folgenden Schritt auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n+1}~ \frac{1}{i(i+1)} = \sum_{i=1}^n~ \frac{1}{i(i+1)} + ~ \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Wie kommt der Schritt $\begin{eqnarray*} + ~ \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$ zustande?

Vermutlich ist die Frage sehr einfach, jedoch fange ich gerade erst mit der Thematik an. Ich bin euch daher für jeden Hinweis sehr dankbar.

Viele Grüße
Zaubermaus

22.03.2009, 15:33

Laylu

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Du summierst links ja von 1 bis n+1. Rechts wird dann (um die Induktionsvoraussetzung verwenden zu können) nur noch bis n summiert. Damit das Gleichheitszeichen korrekt ist, muss also der "fehlende" Summand (der mit i=n+1) noch "extra" addiert werden.

22.03.2009, 15:42

Laylu

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Noch ein Hinweis:
Du solltest in deiner Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} n>0 \end{eqnarray*}$ wählen und nicht $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ , denn:

1) $\begin{eqnarray*} n{\in}\!\!\!/ \mathbb N \end{eqnarray*}$

2) Sonst müsstest du auch deinen Induktionsanfang für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ machen.

3) Von i=1 bis 0 zu summieren, ist nicht so günstig Augenzwinkern

22.03.2009, 15:48

Zizou66

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Für i=0 ist die Behauptung auch gar nicht definiert.

22.03.2009, 16:22

Zaubermaus

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Ahhh...

Super... jetzt hab ich den Weg verstanden.... Vielen Dank für den Tipp

22.03.2009, 17:07

Laylu

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Zitat:

Original von Zizou66
Für i=0 ist die Behauptung auch gar nicht definiert.

Mist, das war mein 4. Punkt, den hab ich vergessen Augenzwinkern

Und ich meinte natürlich auch $\begin{eqnarray*} 0{\in}\!\!\!/ \mathbb N \end{eqnarray*}$

irgendwie hab ich heut noch nicht allzu viel Sinnvolles geschrieben...

22.03.2009, 17:31

Zizou66

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Zitat:

Original von Laylu

Und ich meinte natürlich auch $\begin{eqnarray*} 0{\in}\!\!\!/ \mathbb N \end{eqnarray*}$

Naja, darüber kann man immer noch streiten. Manche sagen es so, die anderen so.

Eine Din-Norm jedenfalls verordnet, dass $\begin{eqnarray*} 0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Das ist allerdings nicht überall anerkannt.

Übrigens:
$\begin{eqnarray*} 0\notin\mathbb N \end{eqnarray*}$

code:
1:	0\notin\mathbb N

Das ist einfacher Augenzwinkern

22.03.2009, 17:33

Laylu

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Zitat:

Original von Zizou66
Übrigens:
$\begin{eqnarray*} 0\notin\mathbb N \end{eqnarray*}$

code:
1:	0\notin\mathbb N

Das ist einfacher Augenzwinkern

Perfekt, danke, das hatte ich gesucht, aber leider nicht gefunden Augenzwinkern

22.03.2009, 17:38

Duedi

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Aber trotzdem keine schlecht Lösung, was laylu gemacht hat Big Laugh

22.03.2009, 17:43

Zizou66

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Fand ich auch! Sollte man sich für andere Durchstreichungen auch auf jeden Fall mal merken Augenzwinkern

22.03.2009, 17:52

Airblader

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Etwas simpler und allgemeiner, wenn einem mal "\notin" nicht einfällt, ist der reine Befehl "\not".

"\not \in" -> $\begin{eqnarray*} \not \in \end{eqnarray*}$

air

22.03.2009, 18:01

Jacques

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Hallo,

Die „leere Summe“

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^0 a_i \end{eqnarray*}$

hat nach Definition den Wert 0. Man könnte den Induktionsanfang also auch bei 0 setzen.

Ich würde bei dem Induktionsschritt eine andere Variable als n nehmen und eine andere Formulierung benutzen:

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein* (!) $\begin{eqnarray*} k \geqslant 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k \geqslant 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsfolgerung: Dann gilt die Behauptung auch für k + 1

Nachweis: ...

*wenn man einfach nur sagt $\begin{eqnarray*} n \geqslant 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist nicht klar, was damit gemeint ist. Alle n? Das wäre ja falsch.

22.03.2009, 18:07

Laylu

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Zitat:

Original von Duedi
Aber trotzdem keine schlecht Lösung, was laylu gemacht hat Big Laugh

jaja, man muss sich nur zu helfen wissen Big Laugh

Zitat:

Original von Jacques
Hallo,

Die „leere Summe“

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^0 a_i \end{eqnarray*}$

hat nach Definition den Wert 0. Man könnte den Induktionsanfang also auch bei 0 setzen.

schon wieder was Neues gelernt... Danke!

23.03.2009, 00:53

WebFritzi

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Geht auch ohne Induktion: erst Partialbruchzerlegung und dann Teleskopsumme.

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