Problem bei vollständiger Induktion

Neue Frage »

Zaubermaus Auf diesen Beitrag antworten »
Problem bei vollständiger Induktion
Hallo zusammen,
wer kann mir bei folgendem Problem weiterhelfen?

Es soll bewiesen werden, dass folgende Formel für alle gilt:



Induktionsanfang:

Ergebnis beiderseits: 1/2

Induktionsannahme:
Für gilt ebenfalls

Ich setze also n + 1 in die Formel ein und erhalte:



Soweit ist alles klar.

der nächste Schritt bereitet mir allerdings Probleme. Die dokumentierte Lösung zeigt folgenden Schritt auf:



Wie kommt der Schritt zustande?

Vermutlich ist die Frage sehr einfach, jedoch fange ich gerade erst mit der Thematik an. Ich bin euch daher für jeden Hinweis sehr dankbar.

Viele Grüße
Zaubermaus
Laylu Auf diesen Beitrag antworten »

Du summierst links ja von 1 bis n+1. Rechts wird dann (um die Induktionsvoraussetzung verwenden zu können) nur noch bis n summiert. Damit das Gleichheitszeichen korrekt ist, muss also der "fehlende" Summand (der mit i=n+1) noch "extra" addiert werden.
 
 
Laylu Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Hinweis:
Du solltest in deiner Induktionsannahme wählen und nicht , denn:

1)

2) Sonst müsstest du auch deinen Induktionsanfang für machen.

3) Von i=1 bis 0 zu summieren, ist nicht so günstig Augenzwinkern
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Für i=0 ist die Behauptung auch gar nicht definiert.
Zaubermaus Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh... Freude

Super... jetzt hab ich den Weg verstanden.... Vielen Dank für den Tipp
Laylu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zizou66
Für i=0 ist die Behauptung auch gar nicht definiert.


Mist, das war mein 4. Punkt, den hab ich vergessen Augenzwinkern
Und ich meinte natürlich auch

irgendwie hab ich heut noch nicht allzu viel Sinnvolles geschrieben...
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Laylu

Und ich meinte natürlich auch



Naja, darüber kann man immer noch streiten. Manche sagen es so, die anderen so.

Eine Din-Norm jedenfalls verordnet, dass ist. Das ist allerdings nicht überall anerkannt.

Übrigens:

code:
1:
0\notin\mathbb N 


Das ist einfacher Augenzwinkern
Laylu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Zizou66
Übrigens:

code:
1:
0\notin\mathbb N 


Das ist einfacher Augenzwinkern


Perfekt, danke, das hatte ich gesucht, aber leider nicht gefunden Augenzwinkern
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Aber trotzdem keine schlecht Lösung, was laylu gemacht hat Big Laugh
Zizou66 Auf diesen Beitrag antworten »

Fand ich auch! Sollte man sich für andere Durchstreichungen auch auf jeden Fall mal merken Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas simpler und allgemeiner, wenn einem mal "\notin" nicht einfällt, ist der reine Befehl "\not".

"\not \in" ->

air
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Die „leere Summe“



hat nach Definition den Wert 0. Man könnte den Induktionsanfang also auch bei 0 setzen.


Ich würde bei dem Induktionsschritt eine andere Variable als n nehmen und eine andere Formulierung benutzen:

Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gelte für ein* (!) bzw.

Induktionsfolgerung: Dann gilt die Behauptung auch für k + 1

Nachweis: ...



*wenn man einfach nur sagt , dann ist nicht klar, was damit gemeint ist. Alle n? Das wäre ja falsch.
Laylu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duedi
Aber trotzdem keine schlecht Lösung, was laylu gemacht hat Big Laugh

jaja, man muss sich nur zu helfen wissen Big Laugh

Zitat:
Original von Jacques
Hallo,

Die „leere Summe“



hat nach Definition den Wert 0. Man könnte den Induktionsanfang also auch bei 0 setzen.


schon wieder was Neues gelernt... Danke!
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Geht auch ohne Induktion: erst Partialbruchzerlegung und dann Teleskopsumme.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »