Welchen Wert hat die Summe?

22.03.2009, 15:33	Erialos	Auf diesen Beitrag antworten »
Welchen Wert hat die Summe? Hallo, ich bin Student Fachbereich Maschinenbau und habe eine Frage zu meiner Matheprüfung. Aufgabenstellung: Welchen wert hat die Summe? $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^2+k-2} \end{eqnarray}$ und soweit bin ich bis jetzt gekommen... Als erstes habe ich eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Schritt1 $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~\frac{1}{k^2+k-2} = \sum_{k=2}^n~ \frac{A}{k-1}+ \frac{B}{k+2} \end{eqnarray}$ Schritt2 $\begin{eqnarray} \frac{A}{k-1}+ \frac{B}{k+2}= \frac{1}{k^2+k-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{A(k+2)+B(k-1)}{k^2+k-1} = \frac{1}{k^2+k-2}daraus folgt --> A(k+2)+B(k-1) = 1 \end{eqnarray}$ Für A habe ich +1/3 und für B habe ich -1/3 ermittelt Schritt 3 Für A : $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~ \frac{1/3}{k-1} \end{eqnarray}$ Für B : $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n~ \frac{-1/3}{k+2} \end{eqnarray}$ Schritt4 Jetzt habe ich mal die Summen ausgerechnet, und für n die Zahlen 2 bis 6 eingesetzt. Siehe da man kann die Summen kürzen. FürA: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^6~ \frac{1/3}{k-1}=\frac{1}{3} +\frac{1}{6} +\frac{1}{9} +\frac{1}{12} +\frac{1}{15} +\frac{1}{18} \end{eqnarray}$ FürB: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^6~ \frac{-1/3}{k+2}=\frac{1}{9} +\frac{1}{12} +\frac{1}{15} +\frac{1}{18} +\frac{1}{21} +\frac{1}{25} \end{eqnarray}$ Wie man sieht kürzen sich die Summen irgendwann weck.... So weit bin ich gekommen, aber wie ermittle ich den Wert der Summe daraus? Komme ab hier nicht mehr weiter, vllt brauche ich auch nur einen Denkanstoß. Danke für eure Hilfe .... wenn ich was vergessen haben sollte, bitte mich darauf hinweisen
22.03.2009, 16:03	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Wegkürzen ist richtig, das muss man aber noch sauber hinschreiben. Du hast also für den Wert der Summe: $\begin{eqnarray} \cdots = \frac{1}{3}\left[\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k+2}\right] \end{eqnarray}$ Jetzt machst du eine Indexverschiebung an der zweiten Summe: $\begin{eqnarray} \cdots = \frac{1}{3}\left[\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum_{k=5}^n\frac{1}{k-1}\right] \end{eqnarray}$ Kommst du jetzt weiter? EDIT: Hatte vergessen, das n mitzuverschieben. Hier die Korrektur der letzten Gleichung $\begin{eqnarray} \cdots = \frac{1}{3}\left[\sum_{k=2}^n\frac{1}{k-1}-\sum_{k=5}^{n+3}\frac{1}{k-1}\right] \end{eqnarray}$
22.03.2009, 16:15	Erilos	Auf diesen Beitrag antworten »
Indexverschiebung? Ich google mal was das ist. Vielen Dank. Hoffe es bringt mich weiter. Ich melde mich gleich wieder...
22.03.2009, 16:29	Duedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe einfach folgende Überlegung gemacht: $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n\frac{1}{k+2}=\frac{1}{2+2}+\frac{1}{3+2}+\frac{1}{4+2}+\cdots \end{eqnarray}$ Es wäre doch sicherlich günstig, wenn wir die zweite Summe mit dem gleichen Term darstellen könnten wie die erste (dann können wir sie vllt miteinander verrechnen). Also nehmen wir den selben Summations"körper", nämlich $\begin{eqnarray} \frac{1}{k-1} \end{eqnarray}$ und überlegen wir uns, wie wir unseren Startwert k setzen müssen, damit wir dieselbe Summation hinbekommen. Vergleiche einfach mal mit ein paar Werten, ob $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^n\frac{1}{k+2}=\sum_{k=5}^{n+3}\frac{1}{k-1} \end{eqnarray}$ gilt P.S. Achtung: Habe in meinem vorigen Thread vergessen, das n in der Summe mitzuverschieben, das musst du bei dir auch machen.
22.03.2009, 16:52	Erialos	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die weitere Antwort, ich lese mir es jetzt mal ganz in ruhe durch, um es nachzuvollziehen. Ich glaube, das hatten wir schonmal in der Vorlesung, ich schlage schnell mal meine Unterlagen auf und schreibe diese in das Forum rein...

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