Hypothesentest - richtig gerechnet?

22.03.2009, 15:53

NatürlicheZahl

Hypothesentest - richtig gerechnet?

Aufgabe:

Eine Fernsehserie hatte im letzten Jahr eine mittlere Einschaltquote von 10%. Das Management des Senders vermutet, dass die Beliebtheit der Serie im letzten Quartal des Vorjahres sogar etwas zugenommen hat. Weitere Serien sollen dazugekauft werden, wenn die Beliebtheit der Sendung mindestens gleich geblieben ist. Dazu sollen 200 Personen mittels einer Telefonaktion befragt werden. Man ist sich auch der Zufälligkeit von Stichprobenergebnissen bewusst und gibt sich mit einer Sicherheit von mindestens 95% des Befragungsergebnisses zufrieden.

Bestimmen Sie den Annahne- und Ablehnungsbereich, sowie den tatsächlichen Fehler 1. Art.

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Zuerst habe ich die Hypothesen aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} H_0 = p \geq 0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_1 = p < 0,1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=200 \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \mu = 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma = 3*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -> Laplace-Bedingung erfüllt!

Es handelt sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Ich habe in der Tabelle deshalb z=-1,65 rausgesucht.

dann ergibt sich für k:

$\begin{eqnarray*} k= z * \sigma + \mu \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k= -1,65*3*\sqrt{2}+20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k= 12,99 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich für:

Annahmebereich : [13;200]
Ablehnungsbereich: [0;12]

Jetzt soll ich ja den tatsächlichen Fehler 1. Art berechnen, also

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 12) = \phi (z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=\frac{k-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} P(X \leq 12) = \phi (-1,89) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 12) = 1- \phi (1,89) \end{eqnarray*}$

Aus der Tabelle ergibt sich dann:

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 12) = 1-0,9706 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 12) = 2,94% \end{eqnarray*}$

Der tatsächliche Fehler beläuft sich also auf 2,94% und ist somit auch kleiner als 5%.

Ist das so richtig? Danke smile

22.03.2009, 15:59

Duedi

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Wie kommst du auf das z=-1,65? Wir haben die Entscheidungsregel immer ganz anders bestimmt.

22.03.2009, 16:41

NatürlicheZahl

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Das ergibt sich aus der Normalverteilung. Es soll ja eine Sicherheit von 95% vorhanden sein, daher der alpha-Fehler soll maximal 5% sein. Also schaue ich in der Normalverteilungstabelle bei dem letzten Wert >= 95% und das ist 1,65. Da es sich um einen linksseitigen Test handelt, dann eben -1,65.

Das ist doch richtig oder?

22.03.2009, 16:42

Duedi

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Ah ja, so klappt das natürlich, mir war nicht ganz klar, was z ist. Und deine Probe gewährleistet ja die Richtigkeit deines Ergebnisses.

22.03.2009, 16:44

NatürlicheZahl

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Okay danke! Was mich jetzt verwundert ist aber Folgendes:

Hier ist die Lösung zur Aufgabe: Lösung

Warum kommt der Verfasser auf ein anderes Ergebnis (3,9% für alpha)?

Ich bin eigentlich der Meinung, dass meine Lösung richtig ist, jedoch verwundert es mich, dass dort eine andere Lösung angegeben ist!? verwirrt

22.03.2009, 16:54

Duedi

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Weil dein Wert (2,94%) nicht korrekt ist, du musst dich da irgendwo vertan haben.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 12)\approx \Phi\left(\frac{12-20+0.5}{\sqrt{18}}\right)= 1-\Phi\left(\frac{7.5}{\sqrt{18}}\right) \approx 0.03836 \end{eqnarray*}$

22.03.2009, 17:36

NatürlicheZahl

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Zitat:

Original von Duedi
Weil dein Wert (2,94%) nicht korrekt ist, du musst dich da irgendwo vertan haben.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 12)\approx \Phi\left(\frac{12-20+0.5}{\sqrt{18}}\right)= 1-\Phi\left({7.5}{\sqrt{18}}\right) \approx 0.03836 \end{eqnarray*}$

Die +0,5 im Zähler, die habe ich nicht! Das ist eine Korrektur der Näherung, richtig?

22.03.2009, 17:37

Duedi

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22.03.2009, 17:42

NatürlicheZahl

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Gut, also wenn ich ohne diese Korrektur rechne, ist mein Ergebnis richtig, ja?

22.03.2009, 18:08

Duedi

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naja, die Korrektur ist egtl schon nötig