warum hat A+A^-1 dieselben Eigenvektoren wie A

22.03.2009, 15:11	losiforever	Auf diesen Beitrag antworten »
warum hat A+A^-1 dieselben Eigenvektoren wie A Hallo, meine Frage: wieso hat eine Matrix B=A+A^-1 (A invers) diesselben Eigenvektoren wie A alleine? (gegeben ist A mit A=A^T (A gleich A transponiert)). kann man das anschaulich schnell erklären? viele Grüße, Florian
22.03.2009, 15:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: warum hat A+A^-1 dieselben Eigenvektoren wie A Sei v ein Eigenvektor von A. Dann gilt also: $\begin{eqnarray} Av=\lambda v \end{eqnarray}$ Sei A inivertierbar, so folgt: $\begin{eqnarray} A^{-1}v=\frac{1}{\lambda} v \end{eqnarray}$ Somit ist v auch Eigenvektor der Inversen und somit von der hier konstruierten Matrix B. Damit ist eine Beweisrichtung abgeschlossen.

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