Markovkotten: stationäre Verteilung

22.03.2009, 17:44	BerndB	Auf diesen Beitrag antworten »
Markovkotten: stationäre Verteilung Hallo zusammen! Ich beschäftige mich zur Zeit mit Markovketten. Genauer, mit der Berechnung der stationären Verteilung. Hab da grad einfach ein Brett vor dem Kopf und komm nicht weiter. Also ich hab folgende Übergangsmatrix $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\<br /> \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\<br /> \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0\\<br /> \frac{3}{4} & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4}\\<br /> 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Wie berechne in nun die stationäre Verteilung $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ? Folgendes ist mir klar: - Es muss gelten $\begin{eqnarray} \pi P=\pi \end{eqnarray}$ - Ich muss die Normierungsbedingung $\begin{eqnarray} {\displaystyle \sum_{i=0}^{N}\pi_{i}=1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i=0,\ldots,N \end{eqnarray}$ anwenden - Das ganze ergibt dann ein Gleichungssystem, dass ich mit dem Gauss-Algorithmus lösen kann. Aber wie sieht dieses Gleichungsystem ganz konkret hier aus? Ich weiss, dass ich die Lösung eigentlich schon hingeschrieben hab, aber ich weiss grad einfach nicht wie ich das umsetze. Schöne Grüße, Bernd
24.03.2009, 13:27	Zahlenschubser	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Markovkotten: stationäre Verteilung Hallo! Versuch's mal mit dem homogenen LGS $\begin{eqnarray} \pi(P-I)=0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix ist. Die nicht-triviale Lösung des Systems muss dann deiner Normierung entsprechen und wird so eindeutig.
25.03.2009, 12:27	BerndB	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Zahlenschubser, danke für die Antwort! Ich hab mein Problem erkannt. Für das LGS addiert man die Werte der Spalte, und nicht der Zeile. (Ja ich weiss, sehr unmathematisch ausgedrückt). Deswegen hier das Beispiel für $\begin{eqnarray} \pi_o \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\pi_{1}+\frac{2}{3}\pi_{2}+\frac{3}{4}\pi_{3}+\pi_{4}=\pi_{0} \end{eqnarray}$

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