quadratische ergänzungen

11.09.2006, 20:31

lis

quadratische ergänzungen

kann mir jemand möglichst schnell quadratische ergänzungen OHNE p/q formel erklären schreib morgen ne arbeit und hab keine ahnung davon traurig

11.09.2006, 20:36

Dual Space

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RE: quadratische ergänzungen
Schau mal hier: *klick*
Ist wirklich gut erklärt. Augenzwinkern

11.09.2006, 20:38

irre.flexiv

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Es geht darum einen quadratischen Gleichung so zu erweitern das man die Binomischen Formeln anwenden kann.

Beispiel

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2 x - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 - 2 x + 1 - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 - 2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x - 1)^2 = 2 \end{eqnarray*}$

usw.

11.09.2006, 20:38

JochenX

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RE: quadratische ergänzungen

Zitat:

Original von lis
kann mir jemand möglichst schnell quadratische ergänzungen OHNE p/q formel erklären

könnte mir hingegen mal jemand quadratische Ergänzung MIT p,q-Formel erklären?

11.09.2006, 20:42

penizillin

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man ergänzt sich eine gleichung so, dass man eine binomische formel (im "aufgeklappten" zustand) erhält.

wenn du z.b.

$\begin{eqnarray*} x^2 + 4 = 0 \end{eqnarray*}$

hast, guckst du scharf hin und denkst dir - hey, da steht ja

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 0 \end{eqnarray*}$

d.h. die erste binomische lässt sich aufstellen, indem man auf beiden seiten der gleichung 2^2 = 4 addiert:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot x^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 + 2^2 = 2^2 = 4 \end{eqnarray*}$

so, und nun können wir die binomische wieder zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} (x+2)^2 = 4 \end{eqnarray*}$

ziehen die wurzel auf beiden seiten:

$\begin{eqnarray*} (x+2) = \pm 2 \end{eqnarray*}$

und beide lösungen (0 und -4) liegen auf der hand.

die einzige schwierigkeit besteht darin, zu erkennen, was zu einer binomischen formel fehlt...

versuch mal selbst:

$\begin{eqnarray*} 4x^2 - 6x = 1 \end{eqnarray*}$
was muss man machen, damit links eine binomische formel steht?

11.09.2006, 21:04

lis

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ein beispiel meiner aufgaben
wir haben hier zum beispiel eine aufgabe die lautet:
f(x)=x^2+3x+3
wie forme ich diese jetzt in die scheitelpunktform um ?

11.09.2006, 21:28

Bjoern1982

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Eben genau durch quadratische Ergänzung Augenzwinkern

Bei der 3. Zeile von irre.flexivs Beispiel wäre dann Schluss smile

Gruß Björn

11.09.2006, 23:18

penizillin

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da hilft auch der koeffizientenvergleich (falscher ausdruck, aber ein besserer fällt mir nicht ein).
dass es die erste binomische sein wird, erkennst du an dem ersten plus.

weiter:
$\begin{eqnarray*} x^2+3x = -3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 - b^2 = -3 \end{eqnarray*}$

offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} a = x \end{eqnarray*}$
was bedeutet das für den zweiten summanden?

$\begin{eqnarray*} 3x = 2ab \end{eqnarray*}$

daraus kann man b bestimmen - jetzt weßt du, dass

$\begin{eqnarray*} a^2+2ab+b^2 = -3 + b^2 \end{eqnarray*}$

mit geeigneten werten für a und b und kannst die linke seite zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 = -3 + b^2 \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} (a+b)^2 + 3 - b^2 = 0 \end{eqnarray*}$

kannst du die schritte vervollständigen?

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