Flächeninhalt ebenes Viereck

23.03.2009, 14:29

DKR82

Flächeninhalt ebenes Viereck

Hallo...

habe hier eine Aufgabe einer Übungsklausur, in der man keinen Taschenrechner benutzen darf, und von der ich leider auch keine Lösungen habe...

Daher wäre es nett, wenn jemand mal über die Lösung schauen könnte und mich ggf. korrigiert...

1) Zeigen Sie, dass die vier Punkte A(5,-2,1), B(3,6,-1),C(-3,6,1) und D(2,-2,2) in einer Ebene liegen

Zu 1 habe ich dann mit der 3-Punkte Form folgende Ebene durch A,B,C erhalten

$\begin{eqnarray*} r(t,s)=\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}+t* \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aus den 3 Gleichungen

$\begin{eqnarray*} 5-2t-8s=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2+8t+8s=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1-2t=2 \end{eqnarray*}$

erhalte ich t=-0.5 und s=0.5....damit ist doch dann bewiesen dass die vier Punkte in einer Ebene liegen?!?

2) Die 4 Punkte aus 1 bilden ein ebenes Viereck! Berechnen Sie die Fläche dieses Vierecks als Summe zweier Dreiecksflächen.

Dazu habe ich die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{AB}= \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{AC}= \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gebildet. Der Flächeninhalt eines Dreiecks müsste doch dann der Hälfte des Betrags des Kreuzproduktes aus diesen Vektoren entsprechen??

A(Dreieck) = $\begin{eqnarray*} \mid\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

Dann käme ich aber auf einen Flächeninhalt für das Viereck von

A(Viereck)= 2* $\begin{eqnarray*} \mid\begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 48 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

was mich deshalb stutzig macht, weil ich es in der Klausur ohne Taschenrechner kaum ausrechnen könnte und das quasi das Endergebnis der Aufgabe wäre?? verwirrt

Vielen Dank im Vorraus

Danny

23.03.2009, 18:19

riwe

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RE: Flächeninhalt ebenes Viereck
wieso, das kann ohne problem im kopf

$\begin{eqnarray*} A=32\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

aber das stimmt so nicht unglücklich

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|+|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}|) \end{eqnarray*}$

deine rechnung wäre nur für 2 identische 3ecke (also meist ein parallelogramm) korrekt smile

24.03.2009, 11:58

DKR82

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Danke erstmal für die schnelle Hilfe....die Sache mit den zwei gleichen Dreiecken leuchtet ein, aber dann hätte ich

$\begin{eqnarray*} \vec{AD}=\begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*( \mid \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 48 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\mid) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*( \mid \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 48 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ 24 \end{pmatrix} \mid) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*( \mid \begin{pmatrix} 24 \\ 24 \\ 72 \end{pmatrix} \mid) \end{eqnarray*}$

Auch das kann ich nicht mehr im Kopf rechnen...zumal ich auch noch nicht ganz verstanden habe wie du auf

$\begin{eqnarray*} 32*\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ gekommen bist

da $\begin{eqnarray*} 32*\sqrt{5}= 71.554 \end{eqnarray*}$ entspricht
aber $\begin{eqnarray*} 2*\mid \begin{pmatrix} 16 \\ 16 \\ 48 \end{pmatrix} \mid = 106.132 \end{eqnarray*}$ entspricht?

Wäre sehr nett, wenn du (oder jemand anderes) mir kurz auf die Sprünge helfen könntest! Bin gerade etwas verwirrt traurig

24.03.2009, 19:01

Gualtiero

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RE: Flächeninhalt ebenes Viereck

Zitat:

Original von DKR82
Der Flächeninhalt eines Dreiecks müsste doch dann der Hälfte des Betrags des Kreuzproduktes aus diesen Vektoren entsprechen??

A(Dreieck) = $\begin{eqnarray*} \mid\begin{pmatrix} -2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -8 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} \mid \end{eqnarray*}$

In der Latexzeile hast Du vergessen, mit 0.5 zu multiplizieren.

Wenn Du vom zweiten Kreuzprodukt - also AC "kreuz" AD - auch die Hälfte nimmst, stimmt die Fläche. Hab' sie graphisch überprüft.

Das mit dem Kopfrechnen verstehe ich so, dass ein Wurzelausdruck auch gilt.

Ciao

24.03.2009, 19:19

riwe

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ich kann es eh auch nicht unglücklich

$\begin{eqnarray*} A=2*\sqrt{16^2*(1+1+9)}=32\sqrt{11} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} A=32\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

24.03.2009, 19:32

riwe

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$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix} -8 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix} -3\\0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB}\times{AC}=16\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} \times\begin{pmatrix} 1 \\-1 \\ 0 \end{pmatrix} =16\begin{pmatrix}1 \\1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und analog

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}=8\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} A=(8+4)\sqrt{11}=12\sqrt{11} \end{eqnarray*}$

24.03.2009, 20:34

Gualtiero

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@riwe
Dein letztes Ergebnis kann ich bestätigen.

Und Deine Ehrlichkeit

Zitat:

Original von riwe
ich kann es eh auch nicht unglücklich

ist lobenswert. Wie ich mit dem zweiten Kreuzprodukt herumgerauft habe, darüber sage ich nichts. traurig

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