Parametrisierung einer Fläche, Bestimmung der Krümmungen

23.03.2009, 15:29	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung einer Fläche, Bestimmung der Krümmungen Hallo, ich habe folgende Aufgabe, bei der ich leider nicht weiter weiss Es sei $\begin{eqnarray} S_c:=\{(x,y,z)\in \mathbb R^{3}: x^{2} + c y^{2}=z\}, c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Parametrisieren sie $\begin{eqnarray} S_c \end{eqnarray}$ als Graph einer Funktion und bestimmen sie die mittlere Krümmung und due Gaußsche Krümmung bzgl. dieser Parametrisierung. Als Parametrsierung hab ich $\begin{eqnarray} F(u_1,u_2)=(u_1,u_2,f(u_1,u_2)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x,y)=x^{2}+cy^{2} \end{eqnarray}$ ab hier weiss leider nicht mehr so richtig weiter ich hab mir die partiellen ableitungen von F berechnet und mit dem Kreuzprodukt die Normalenabbildung $\begin{eqnarray} \frac{dF}{du_1}=(1,0,2u_1)<br /> <br /> \frac{dF}{du_2}=(0,1,2cu_2) <br /> <br /> N_{F(u_1,u_2)}S=(-2u_1,-2cu_2,1) <br /> \end{eqnarray}$ ANschliessend hab ich mich an beispielaufgaben im Skript orientiert und $\begin{eqnarray} W_p \end{eqnarray}$ (Weingartenabbildung) der partiellen Ableitungen berechnet $\begin{eqnarray} W_p ((1,0,2u_1))=(2,0,0)<br /> <br /> W_p((0,1,2cu_2))=(0,2c,0) \end{eqnarray}$ hier bin ich mir zum einen nicht sicher, ob das so richtig ist oder ob ich völligen blödsinn gemacht hab und zum andern weiss ich nicht, wie ich von hier aus, auf die matrixdarstellung der Weingartenabbildung kommen soll
23.03.2009, 15:56	WebFritzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch keine Algebra. Gehört eher ins Analysis-Forum. Und zudem solltest du erklären, wie die beiden Krümmungen definiert werden. Zudem bezweifle ich, dass den meisten hier deine Weingartenabbildung bekannt ist.
24.03.2009, 11:15	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Am einfachsten ist es denke ich, wenn du die zweite Fundamentalform kennst. Habt ihr die schon in der Vorlesung gemacht? Cordovan
24.03.2009, 14:10	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre mal kurz, was die Gaußsche Krümmung bedeutet: Betrachte einen Igel. Die Stacheln des Igels kann man als Normalvektoren der „Igeloberfläche“ betrachten. Diese Stacheln sind nicht parallel, sondern gespreizt, weil der Igel rund ist. Die Spreizung der Stacheln (also deren Abweichen von der Parallelität) ist ein Maß für die Krümmung der Igeloberfläche. Vor 200 Jahren hat Gauß den Begriff „Gaußsche Krümmung“ eingeführt (später nach ihm benannt). Er hat durch einfache anschauliche Betrachtungen motiviert, dass die Gaußsche Krümmung der „Igeloberfläche“ der Quotient zweier Parallelogrammflächen ist, nämlich Parallelogrammfläche, aufgespannt durch dN/du und dN/dv K=-------------------------------------------------------------------------- Parallelogrammfläche, aufgespannt durch dx/du und dx/dv In dieser Formel sind die Vektoren dN/du und dN/dv die Ableitungen des Normalvekors N(u,v) nach den Flächenparametern u,v. Die Vektoren dx/du und dx/dv sind die Tangentialvektoren, also die Ableitungen der Parameterdarstellung x(u,v) nach den Flächenparametern u,v. Die Parallelogrammflächen kannst du durch elementare Formeln berechnen. Die Motivation der obigen Formel kann ich aus Zeitgründen nicht weiter erläutern. Leider wird diese anschauliche Formel in den „modernen“ Mathemtikbüchern oft gar nicht mehr erwähnt. Habe sogar schon Mathe-Professoren gesprochen, die diese Formel gar nicht kannten. Auch bei WIKIPEDIA wird auf die ursprünglich anschauliche Gaußsche Definition leider nicht eingegangen. Frage mal Deinen Prof. nach der ursprünglichen Motivation der Gaußschen Krümmung ohne Formeln! Der Begriff Gaußsche Krümmung kann auch auf Flächen ausgedehnt werden, welche in Räume eingebettet sind, deren Dimension größer als 3 ist. Das spielt in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. --------------- Bei der mittleren Krümmung gibt’s auch eine anschauliche Deutung: Wenn ein Wanderer durch ein Gebirge wandert, dann existiert an jedem Punkt des Gebirges eine Richtungen mit der größten Krümmung und eine Richtung mit der kleinsten Krümmung (abgesehen von Speziealfällen wie Ebene oder Kugeloberfläche). Krabbelt z.B. ein Käfer auf einer Rohrleitung, dann ist die geringste Krümmung in Axialrichtung (Krümmung =0) und die größte Krümmung entlang des Rohrumfanges. Der Durchschnitt 0,5*(k1+k2) beider Krümmungen k1 und k2 ist gerade die mittlere Krümmung. Diese beiden extremalen Krümmungen k1 und k2 sind übrigens die Eigenwerte der 2.Grundform. Dies ergibt sich nach den allgemeinen Prinzipien von Extremalwertaufgaben mit mehreren Variablen. -------------------

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