Problem mit einer Differentialgleichung

23.03.2009, 16:17

Maddy

Problem mit einer Differentialgleichung

Hallo

Ich hab mal wieder Probleme mit einem DGL unglücklich

Hab soweit gerechnet wie ich konnte, aber jetzt kann ich die Variablen nich trennen.

Also so sieht sie aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = sec y * tan x \end{eqnarray*}$

Ich hab erfahren das ich für sec y ja auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos y} \end{eqnarray*}$ und mit dem hab ich dann auch gerechnet.

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{cos y} = tan x * dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \frac{dy}{cos y} = \int tan x * dx \end{eqnarray*}$

Und laut ner Integralliste wären die Ableitungen nun so:

$\begin{eqnarray*} ln |tan (\frac{y}{2} + \frac{\pi}{4})| = - ln |cos(x)| + c \end{eqnarray*}$

Dann mit e hoch um ln wegzubekommen. Für e^c schreib ich direkt k hin.

$\begin{eqnarray*} tan (\frac{y}{2} + \frac{\pi}{4}) = -cos(x) * k \end{eqnarray*}$

Doch hier komm ich nicht weiter unglücklich

Ich weiß nicht wie ich das y jetzt allein auf eine Seite bekommen soll.

Wäre dankbar für Hilfe Big Laugh

Gruß

23.03.2009, 17:07

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Problem mit einer Differentialgleichung
Zunächst mal solltest du einen Fehler ganz am Anfang korrigieren. Wenn du den 1/cos auf die andere Seite bringst, steht dort cos und nicht 1/cos.

23.03.2009, 17:10

Maddy

Auf diesen Beitrag antworten »

Oha stimmt unglücklich

Garnicht bemerkt.

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{cos y} * tan x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos y * dy = tan x * dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int cos y * dy = \int tan x * dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin y = - ln |cos(x)| + c \end{eqnarray*}$

Nun häng ich da unglücklich

23.03.2009, 17:14

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt nimmst du von beiden Seiten den Arcsin. Es ist ja

Arcsin(Siny)=y

Die rechte Seite sieht danach etwas häßlich aus. Da sehe ich auch keine weitere Vereinfachung.

23.03.2009, 17:22

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy: Das geht nicht so einfach. Beachte den Definitionsbereich des Arcussinus.

@Maddy: Betrachte z.B. nur reelle x mit $\begin{eqnarray*} |x| < \arccos(1/e). \end{eqnarray*}$

23.03.2009, 17:28

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

@WebFritzi
Richtig.
Aber was passiert, wenn man auf den Rand des Definitionsbereichs zuläuft, muss man sich doch eh als Funktion des Anfangswertes ansehen.

23.03.2009, 17:29

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib erstmal deutsch. Dann reden wir weiter. Augenzwinkern

23.03.2009, 17:33

Maddy

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y = - arcsin (ln |cos (x)| + c) \end{eqnarray*}$

Das hätte ich dann. Hab jetzt auch keinen Wert zum einsetzen und die Aufgabenestellung verlangt nur die allgemeine Lösung, also bin ich wohl fertig, oder? Big Laugh

Danke

Nachtrag: Da drückt man ein paar Minuten nicht auf aktualisieren und schon steht viel neues da *g*

23.03.2009, 17:36

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Maddy
$\begin{eqnarray*} y = - arcsin (ln |cos (x)| + c) \end{eqnarray*}$

Das hätte ich dann.

Nö.

23.03.2009, 17:40

Maddy

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} y = arcsin (-ln |cos (x)| + c) \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Big Laugh

Mein Minus is wohl verrutscht *g*

23.03.2009, 17:49

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht alles: So wie der Sinus auf verschiedenen Intervallen verschiedene Umkehrfunktionen hat, hat man auch hier noch mehr Lösungen.

Auf ein konkretes AWP $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ bezogen bleibt dann allerdings nur eine übrig, die zunächst nur lokal um diesen Punkt definiert ist, und die man dann in der Regel noch "ein Stückchen" nach links und rechts fortsetzen kann.

23.03.2009, 19:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Auf ein konkretes AWP $\begin{eqnarray*} y(x_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ bezogen bleibt dann allerdings nur eine übrig

Aber eben nur lokal. Auf den anderen Lösungsintervallen sind wir durch das c nicht festgelegt.

23.03.2009, 19:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, Ansichtssache: Für mich zählt als Lösung des AWP sowieso nur eine durchgehend definierte Funktion (d.h. auf Intervall um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ), d.h. ohne irgendwelches "Abreißen" an Polstellen - was jenseits dieser Stellen passiert, interessiert einfach nicht mehr in Hinblick auf das AWP.

23.03.2009, 20:05

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, so würde ich es auch sehen. Und so ist ja auch z.B. Picard-Lindelöf formuliert. Es ist nur nach Lösungen gefragt, deren Graph in einer bestimmten Umgebung um (x_0,y_0) liegt. Danach sind vielleicht noch maximale Definitionsintervalle das Thema, aber das war's dann. Was außerhalb passiert, hat mit dem Anfangswert nichts zu tun.

Neue Frage »

Antworten »

Problem mit einer Differentialgleichung

Verwandte Themen