Ebene senkrecht zu Gerade als Punktrichtungsgleichung

24.03.2009, 11:33

DKR82

Ebene senkrecht zu Gerade als Punktrichtungsgleichung

Hallo...

habe folgende Aufgabe und hoffe jemand kann kurz mal meine Lösung checken!? smile

Bestimmen Sie eine Punktrichtungsgleichung der Ebene E, welche senkrecht zur Geraden

g: $\begin{eqnarray*} r(t)=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist und durch den Punkt P(2,-1,1) geht.

Habe dann den Richtungsvektor der Gerade als Normalenvektor für die Ebene genommen und erhalte dann folgende Form der Ebene

E: $\begin{eqnarray*} \vec{n} * (\vec{r} -\vec{r1} ) \end{eqnarray*}$

E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} * (\vec{r}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} \vec{r}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erhalte ich dann die Koordinatenform: $\begin{eqnarray*} 3x+y+z=6 \end{eqnarray*}$

Setze dann x=s und y=t und löse nach z auf und erhalte

$\begin{eqnarray*} z=6-3s-t \end{eqnarray*}$ und damit die Ebene

E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} +s*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} +t*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?? verwirrt

MFG

Danny

24.03.2009, 12:44

mYthos

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RE: Ebene senkrecht zu Gerade als Punktrichtungsgleichung
Ja, so weit richtig, nur fehlt bei deinen "Gleichungen", die nämlich noch KEINE sind, rechts noch die Null!

Zitat:

Original von DKR82
... und erhalte dann folgende Form der Ebene

E: $\begin{eqnarray*} \vec{n} * (\vec{r} -\vec{r1} ) \end{eqnarray*}$

E: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} * (\vec{r}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
...

$\begin{eqnarray*} E: \ \vec{n} \cdot (\vec{r} -\vec{r_1}) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E: \ \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \left(\vec{r}-\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\right) = 0 \end{eqnarray*}$

Übrigens: Das Malzeichen geht in LaTex mit \cdot (nicht mit *), Indizes tiefstellen mit x_{index}

mY+

24.03.2009, 16:03

DKR82

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Danke für die schnelle Hilfe und für die Korrektur meiner Fehler Freude

PS: Die Latex-Befehle werd ich mir merken! Augenzwinkern

MFG

Danny

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