Übung zur Äquivalenzrelation

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VinSander82 Auf diesen Beitrag antworten »
Übung zur Äquivalenzrelation
Moin,

Gegeben:

wie zeige ich , dass K eine Äquivalenzr. auf P(M) ist.

.reflexiv
.symmetrie
.transitiv

weiss was das bedeutet, aber wie kann ich das hierfür anwenden

vG vinni
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Formuliere doch mal die Relation K in Worten. Vielleicht hilft dir das zum Verständnis.

Warum K überhaupt eine Relation auf P(M) ist weißt du, oder?

Letztendlich ist der Beweis nur formaler Kram. Da stecker keinerlei Beweisidee dahinter.
 
 
VinSander82 Auf diesen Beitrag antworten »

ganz ehrlich, es stehet zwar hier bei mir auf dem zettel : alle elemente von P(M) sind endlich und die gleichheitsrelation auf ein Äquivalenzrelation ist, aber ich versteh's nicht unglücklich

ich versuch mal K in worten zu fassen:

also die elemente A und B sind ebenfalls elemente aus der Verknüpfung von P(M) x P(M).

Die MENGE von A und B sind gleichmächtig, daher
VinSander82 Auf diesen Beitrag antworten »

P.S. gibt es eine seite mit übungen und lösungen, wo ich diesbezüglich traineren kann?

ich denke das wäre sehr hilfreich Lehrer
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

M. E. hast Du die Definition falsch verstanden. Was meinst Du beispielsweise damit, A und B seien gleichmächtig? „A“ und „B“ sind doch einfach nur Variablen für Teilmengen von M, keine konkret festgelegten Mengen.



Gegeben ist die Menge



Jetzt wird eine Relation K auf der Potenzmenge P(M) von M definiert. Dabei ist P(M) ja die Menge aller Teilmengen von M, also gilt beispielsweise



K ist folgendermaßen definiert:




D. h., für zwei Mengen X und Y aus P(M) gilt X K Y genau dann, wenn X und Y gleichmächtig sind. Also gilt etwa







aber z. B. gilt nicht







Du sollst jetzt feststellen:

Ist die Relation reflexiv, d. h., ist jede Teilmenge von P(M) gleichmächtig zu sich selbst? Ist die Relation symmetrisch, d. h., ist die Relation K „richtungslos“, folgt aus |X| = |Y| immer |Y| = |X|? Und zuletzt: Überträgt sich die Gleichmächtigkeitsbeziehung von einer Menge zur anderen, d. h., folgt aus |X| = |Y| und |Y| = |Z| immer auch |X| = |Z|?
gas5456 Auf diesen Beitrag antworten »
so?
Moin,

also ich beschäftige mich damit auch und mein Ding isses auch nicht so umbedingt:

Habe hier einen Lösungsvorschlag, wäre über Antworten dankbar:



zu Zeigen ist das diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
Im Einzelnen sind das folgende Dinge:

Reflexivität

Da |A| = |A| folgt das A K A also die Reflexivität

Symmetrie

Weil folgt zugleich A K B , also die Symmetrie.

Transitivität

Da folgt daraus, dass ist und somit A K C also auch die Transitivität !


So ?

Gruß
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: so?
Zitat:
Original von gas5456
Symmetrie Weil folgt zugleich A K B , also die Symmetrie.
Transitivität Da folgt daraus, dass ist und somit A K C also auch die Transitivität.


Im Prinzip ja, aber die Darstellung hat grobe Fehler. Besser wäre:

Symmetrie Weil aus folgt, gilt die Symmetrie.
Transitivität Da aus immer folgt, dass , gilt auch die Transitivität.[/quote]

(D.h. letztlich gelten die 3 Eigenschaften für K, weil sie schon für die Gleichheits-Relation von natürlichen Zahlen gelten.)
gas5456 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: so?
Hi,


ah okay. Vielen Dank. Wollte meinem Vorposter natürlich nicht die Antwort wegnehmen, aber da das Ganze schon ein Jahr her ist

Gruß
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