reihen

24.03.2009, 21:16

maxiiiii

reihen

hallo

wenn ich zeigen muss ob eine reihe konvergent ist

darf ich dann die rechenregeln anwenden die für konvergente reihen gelten???

\sum_{k=1}^n~( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} )

darf ich jetzt

\sum_{k=1}^n~( ak +bk ) = \sum_{k=1}^n~ak + \sum_{k=1}^n~bk

benutzen????? denn ich man kann zwar vermuten das sie konvergent ist aber wissen tut man es ja erst nachdem mans gezeigt hat

LG

24.03.2009, 21:17

maxiiiiii

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RE: reihen
jetzt sieht man die formeln hoffentlich auch Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} ) \end{eqnarray*}$

darf ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~( ak +bk ) = \sum_{k=1}^n~ak + \sum_{k=1}^n~bk \end{eqnarray*}$

benutzen????? denn ich man kann zwar vermuten das sie konvergent ist aber wissen tut man es ja erst nachdem mans gezeigt hat

LG

24.03.2009, 21:36

Frank Xerox

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RE: reihen

Zitat:

Original von maxiiiii
hallo

wenn ich zeigen muss ob eine reihe konvergent ist

darf ich dann die rechenregeln anwenden die für konvergente reihen gelten???

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) \end{eqnarray*}$

darf ich jetzt

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~( ak +bk ) = \sum_{k=1}^n~ak + \sum_{k=1}^n~bk \end{eqnarray*}$

benutzen????? denn ich man kann zwar vermuten das sie konvergent ist aber wissen tut man es ja erst nachdem mans gezeigt hat

LG

So wie Du es aufgeschrieben hast ist alles okay, da alle Summen endlich sind.
Die Grenzwertsätze darfst Du natürlich nur anwenden wenn die Existenz der einzelnen Grenzwerte gesichert ist.

Um das Konvergenzverhalten von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\left( \frac{1}{n} + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) \end{eqnarray*}$

zu untersuchen könntest Du ja zunächst mal gucken wie sich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ verhalten.

24.03.2009, 21:50

maxiiiiiiiiiiii

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RE: reihen
hmmmm okeeee

dann darf ichs aber nich benutzen weil

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

die harmonische reihe ist und diese ja divergiert

aber stimmt ist logisch wenn beide reihen konvergieren würden würde es ja passen

divergenz also gezeigt =)

(korrigiert mich bitte wenn ich falsch liegen sollte)

24.03.2009, 21:56

Frank Xerox

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RE: reihen
Was weißt Du denn über das Konvergenzverhalten von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ?

24.03.2009, 22:10

Cordovan

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Ihr müsst mit euren Indizes aufpassen: summiert wird über $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ !

Cordovan

24.03.2009, 22:32

maxiiiiiiiiiii

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darüber weiß ich das das nach dem leibnitzkriterium konvergiert

hat die form (-1)^n an

und an ist eine monotone nullfolge also

=> konvergenz für die reihe

25.03.2009, 00:01

maxiiii

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oder???

25.03.2009, 08:18

klarsoweit

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RE: reihen
Zusammengefaßt: Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$ und Divergenz für die komplette Reihe.

25.03.2009, 09:56

Frank Xerox

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Zitat:

Original von maxiiii
oder???

Genau!

Angenommen Deine Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac1n+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right) \end{eqnarray*}$

wäre konvergent.

Dann wäre auch folgendes nach Grenzwertsätzen konvergent:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac 1n+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac1n+\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)-\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^\infty\frac 1n \end{eqnarray*}$

Widerspruch!

25.03.2009, 15:52

Uwe Walter

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Heißt das man darf bei Reihen die aus quasi zwei Summen zusammen gesetzt sind die Konvergenzen einzeln überprüfen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~( a_k +b_k ) = \sum_{k=1}^n~a_k + \sum_{k=1}^n~b_k \end{eqnarray*}$

Und wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert dann divergiert die ganze Reihe?

Sind beide konvergent => konvergenz

beide divergenr => diverngenz?

25.03.2009, 16:22

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Uwe Walter
Und wenn $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ divergiert und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ konvergiert dann divergiert die ganze Reihe?

Ja.

Zitat:

Original von Uwe Walter
Sind beide konvergent => konvergenz

Ja.

Zitat:

Original von Uwe Walter
beide divergenr => diverngenz?

Nein, dafür gibt es keine sinnvolle Begründung und es lassen sich sofort einfache Gegenbeispiel finden.

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