Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen

25.03.2009, 12:56

mathe-zwerg

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Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen

Hallo,
die erste Aufgabe wurde nun mit der Hilfe von Tigerbine gelöst.
Die zweite Aufgabe handelt ebenfalls wie im Thema zu erkennen von ökonomischen Funktionen.

Frage: Ein Unternehmen stellt zwei Produkte in den Mengen x1, x2 her.
Die Kostenfunktionen lauten:
K1 = 5 + 10x1 (nicht 10 * 1 :-) )
K2 = 10 + 5x2 (nicht 5 * 2 :-) )
Beim Verkauf einer Einheit von P1 wurden 15WE erzielt, der Preis ist mengenabhängig mit p2 = 25 - x2

1. Stellen Sie die Funktionsgleichung für die Gewinnfunktion auf
2. Ermittlung der partiellen Ableitungen erster Ordnung
3. Berechnung des totalen Differentials
4. Wie verändert sich der Gewinn, wenn ausgehend von G(20,10), x1 um 3 Einheiten und x2 um 1 Einheit erhöht wird? Bestimmung näherungsweise über das totale Differential
5. Exakte Berechnung der Veränderung durch Einsetzen in die Funktionsgleichung + Vergleichen der Ergebnisse

Angefangen bei erstens fehlt mir komplett jegliches Verständnis Hilfe

Hilfe

LG

25.03.2009, 13:12

tigerbine

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RE: Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen
Wir haben hier einen Formeleditor. Also nutze ihn.

$\begin{eqnarray*} K_1(x_1) = 5 + 10x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K_2(x_2) = 10 + 5x_2 \end{eqnarray*}$

Wie sieht nun eine Preisabsatzfunktion aus?

$\begin{eqnarray*} p_2(x_2)=25 - x_2 \end{eqnarray*}$

Was ist über die erste Preisabsatzfunktion bekannt?

$\begin{eqnarray*} p_1(1) = 15 \end{eqnarray*}$

Für die PAF - angenommen sie ist linear - fehlt hier aber noch eine Information.

1a. Bzgl. welcher Variablen wird hier die Gewinnfunktion aufgestellt?

1b. Wie kann man sie formal notieren?

25.03.2009, 13:18

Tittiplatsch

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RE: Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen
1)
Moin, allgemein setzt sich die gewinnfunktion aus der erlösfünktion - kostenfunktion zusammen! dsa du hier 2 verschiedene Mengen hast musst du die erste erlösfunktion ( PAF * x) mit die erste kostenfunktion und die 2. K(x) mit der 2. P(x)*x zusammenklatschen! in dem Fall aber vorher noch nach x nach p umstellen!

2) Hier ist die Totale Wahrscheinlichkeit gefragt, d.h. du must jeweils nach einer der beiden Variablen ableiten! Sprich leitetst du z.b. einfach nach x1 ab und hällst x2 wie eine Konstante!

_________________________________

3)

Hier ist die Kreuzableitung der Funktion f(x1,x2), sprich deiner Gewinnfunktion gefragt!

________________________________

4)

Hier kannst du über das Differential gehen, aber eigentlich ist hier die Preiselastizität, bzw Kreuzpreiselastizität gefragt!

________________________________

Unternehmen ergebnis bestimmen, mit den azuvor ausgerechneten Mengen, unter beachtung der Elastizitäten!

Das hört sich verdammt nach Mikroökonomie an!

Solltest du noch fragen haben, melde dich einfach per PN!
Muss zur Arbeit!
Tschööö

________________________________

@ tigerbine

Die Informationen sind in der Aufgabe enthalten! Wird behandelt wie oben beschrieben! (bezüglich der Frage nach den Variablen, etc.)

Edit (mY+): 5-fach (!) Post zusammengefügt.

25.03.2009, 13:24

mathe-zwerg

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Ahh, jetzt habe ich den Formeleditor gefunden. Danke

Ich habe die Aufgabenstellung komplett so übernommen wie sie uns gegeben wurde, deshalb gehe ich davon aus, dass sie wirklich linear ist.

So richtig verstehe ich nicht, was du unter 1a und 1b meinst.
Leider weiß ich auch nicht,wie man sie formal aufstellt.

LG

25.03.2009, 13:33

tigerbine

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RE: Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen

Zitat:

Original von Tittiplatsch
1)
Moin, allgemein setzt sich die gewinnfunktion aus der erlösfünktion - kostenfunktion zusammen! dsa du hier 2 verschiedene Mengen hast musst du die erste erlösfunktion ( PAF * x) mit die erste kostenfunktion und die 2. K(x) mit der 2. P(x)*x zusammenklatschen! in dem Fall aber vorher noch nach x nach p umstellen!

Mag sein, dass ich die Information nicht sehe. Aber auch aus deinem Text werde ich nicht schlau. Wo ist denn in der Aufgabe ein Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ gegeben? Und wie lautet nun die PAF von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

Zitat:

2) Hier ist die Totale Wahrscheinlichkeit gefragt, d.h. du must jeweils nach einer der beiden Variablen ableiten! Sprich leitetst du z.b. einfach nach x1 ab und hällst x2 wie eine Konstante!

Das wäre mir nun aber neu.... verwirrt

verwirrt

25.03.2009, 13:58

mathe-zwerg

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Mmhhhh,
so ganz kann ich dir tittiplatsch nicht folgen.
Du hast das so schnell und kurz geschrieben, da wäre es mir ein wneig hilfreicher, wenn du mir das in Zahlen ausdrücken könntest, damit ich dann versuchen kann es zu verstehen.

Jetzt geht es mir erstmal nur um 1., den Rest versuche ich dann.
Vielleicht kann jemand 1. in Zahlen formulieren, da kann ich bestimmt besser folgen. Hammer

Hammer

Danke

LG

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25.03.2009, 15:29

Tittiplatsch

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sorry, meinte das totale differitial!

also:
du hast hier eine funktion mehrerer veränderlicher!
heißt f(x1,x2)!
die gestzmäßigkeiten die aus der eindimensionalen optimierung bekannt sein sollten, gelten hier zu einem großteil auch!

fangen wir nochmal mit der 1 an!

gesucht ist die gewinn funktion der unternehmung! diese setzt sich aus der addition beider kostenfunktionen und deren differenz aus den beiden PAF's zusammen!

(eine PAF gibt dir den Preis, am markt, in abhänigkeit der menge x an, willst du also eine erlösfunktion daraus machen, musst du diese erst mit x multiplizieren!)

G(x1;x2)= PAF(x1) + PAF(x2) - K(x1) - K(x2)

Diese Funktion beschreibt den Gewinn des Unternehmens, welches nur die Produkte x1 und x2 produziert!
soweit klar?

_________________________________

solltest du später( so ab acht) noch das problem haben, schreib mich an...
bin gerade am arbeiten und habe daher nur wernig zeit!
daher so kurz geschrieben

25.03.2009, 15:32

tigerbine

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Zitat:

Original von Tittiplatsch

G(x1;x2)= PAF(x1) + PAF(x2) - K(x1) - K(x2)?

Ich wiederhole meine Frage, was ist PAF(x1). Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.03.2009, 16:33

mathe-zwerg

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Kannst du mir (tigerbine) eventuell deine ersten Ansätze mal aufzeigen, sprich so wie es tittiplatsch gemacht hat?

Danke im Voraus.

LG

25.03.2009, 17:12

Tittiplatsch

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die erste PAF bzw erlösfunktion E(x1)= 15x
Ist wohl ein Monopol, sprich keine Preisbildung am markt!
der verkauf einer einheit bringt 15 werteinheiten(WE) somit ist der erlös in abhängikeit von der Menge x definiert als E(x1)= 15*x1
@ tigerbine Weißt du jetzt was ich meine?

_________________________________________

G(x1;x2)=(25 - x2)*x2 + 15x1 -(5 + 10x1) - (10 +5x2)

Die Gewinnfunktion und somit die Lösung zu 1)! @ Mathezwerg

_________________________________________

die partiellen ableitungen:

f'1(x1;x2)= 5
f'2(x1;x2)= 20 - 2x2

wie man das macht, kann ich dir erst später erklären, da keine zeit! :-(

_________________________________________

wofür brauchst du das denn?
mikro?
ana 2?
doch wohl nicht in der Schule?oder?

Edit (mY+): 4-fach Post zusammengefügt.

25.03.2009, 21:06

mathe-zwerg

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Hallo tittiplatsch,
ich habe mich jetzt mal an deiner Gewinnfunktion
( $\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) = (25-x_2)*x_2 + 15x_1 - (5 + 10x_1) - (10 + 5x_2) \end{eqnarray*}$ )
orientiert und folgendes Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) = 25x_2 + 2x_2 + 15x_1 - 5 - 10x_1 - 10 - 5x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) = 22x_2 + 5x_1 - 15 \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Wenn ja, dann habe ich glaube eine etwas andere Ableitung

1. $\begin{eqnarray*} G´(x_1) = 5 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} G´(x_2) = 22 \end{eqnarray*}$

Sprich die erste habe ich auch, aber bei der zweiten scheint etwas nicht zu stimmen...
Habe ich etwas übersehen?
Ich hatte das damals schon in der Schule, ist mittlerweile aber 5 Jahre her und nun benötige ich es fürs Studium :-)

LG

25.03.2009, 21:17

tigerbine

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RE: Testaufgaben 2 - ökonomische Funktionen

Zitat:

Original von mathe-zwerg
Beim Verkauf einer Einheit von P1 wurden 15WE erzielt, der Preis ist mengenabhängig mit p2 = 25 - x2

Ok, ich verstehe nun, was du meinst. Idee!

Idee!

Den Satz in der Aufgabe finde ich dennoch schlecht formuliert. Es steht nicht drin, dass generell dieses Preis erzielt wird, und "den Preis" dann mit p2 zu titulieren ist imho auch schlecht. Wink

Wink

25.03.2009, 23:36

mYthos

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@ti...platsch (ein besserer Name ist dir wohl nicht eingefallen??)

Bitte höre ab SOFORT mit deinen mehrfachen (bis zu 5-fach und 4-fach Posts) auf! Dafür gibt es eine EDIT-Funktion! Ich werde diese Posts zusammenführen.

Ausserdem solltest du nicht den Fragesteller zu (privaten) Anschreiben auffordern, das Problem soll HIER im Forum gelöst werden und nicht woanders.

mY+

26.03.2009, 09:42

mathe-zwerg

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Hallo,
vielleicht kann nochmal jemand über meine letzte Rechnung rübergucken, den Ansatz habe ich ja von tittiplatsch übernommen, aber bei den Ableitungen habe ich etwas anderes. Woran liegt es ?

LG

26.03.2009, 13:31

mYthos

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Die Angabe ist so zu interpretieren, dass $\begin{eqnarray*} \text{PAF}_1(x_1) = 15 \end{eqnarray*}$ , also konstant ist. Somit ist $\begin{eqnarray*} E_1(x_1) = 15x_1 \end{eqnarray*}$ . [Das hat Tp bereits so, m. E. richtig, angegeben.]
Das nur noch mal zur Bereinigung eventueller Verwirrungen.

@m-zw

Deine Gewinnfunktion G2 stimmt nicht: Rechne doch nochmals genau:

$\begin{eqnarray*} G_2(x_2) = E_2(x_2) - K_2(x_2) = (25 - x_2)x_2-10-5x_2 \end{eqnarray*}$

Nun klar? Was erhält man daraus nun tatsächlich?

mY+

26.03.2009, 14:05

mathe-zwerg

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Zitat:

Deine Gewinnfunktion G2 stimmt nicht: Rechne doch nochmals genau:

$\begin{eqnarray*} G_2(x_2) = E_2(x_2) - K_2(x_2) = (25 - x_2)x_2-10-5x_2 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich folgendes Ergebnis:
= $\begin{eqnarray*} 25x_2 - x_2 - 10 - 5x_2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 19x_2 - 10 \end{eqnarray*}$

Falls das stimmen sollte, wurde doch aber nicht die Kostenfunktion von $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ berücksichtigt oder?
Denn wenn ich eine Gewinnfunktion ehalten soll, brauche ich doch $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

LG

26.03.2009, 14:23

mYthos

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Zitat:

Original von mathe-zwerg

Zitat:

Deine Gewinnfunktion G2 stimmt nicht: Rechne doch nochmals genau:

$\begin{eqnarray*} G_2(x_2) = E_2(x_2) - K_2(x_2) = (25 - x_2)x_2-10-5x_2 \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich folgendes Ergebnis:
= $\begin{eqnarray*} 25x_2 - x_2 - 10 - 5x_2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 19x_2 - 10 \end{eqnarray*}$

Wieso denn das? Das ist bereits falsch. Multipliziere doch mal richtig (!) aus:

$\begin{eqnarray*} (25 - x_2)x_2-10-5x_2= \ldots \ ?? \end{eqnarray*}$

Hinweis: Wieviel ist denn $\begin{eqnarray*} x_2 \cdot x_2 \end{eqnarray*}$ ?

mY+

26.03.2009, 14:37

mathe-zwerg

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Hammer

= $\begin{eqnarray*} 25x_2 - x _2{^2} - 10 - 5x_2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} - x _2{^2} + 20x_2 - 10 \end{eqnarray*}$

Nun sollte es stimmen, was dann an meine letze Frage anknüpfen sollte..

LG

26.03.2009, 14:39

mYthos

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Hast du jetzt noch ein Problem? Und wenn ja, welches?

mY+

26.03.2009, 15:02

mathe-zwerg

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Ich kann mir nicht vorstellen, dass es tatsächlich die gesuchte Gewinnfunktion ist, denn müsste die Gewinnfunktion nicht in etwa so anfangen?
$\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$
Sagen wir mal so, es wurde ja in der Rechnung auch immer nur $\begin{eqnarray*} K_2 \end{eqnarray*}$ usw verwendet und niemals $\begin{eqnarray*} K_1 \end{eqnarray*}$ (ist aber in der Aufgabenstellung gegeben.

Zumindestens muss doch in der Gleichung einmal $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ auftauchen?
Ich kann mich nicht erinnern, dass wir mal ein Ergebnis in solcher Form hatten...

LG

26.03.2009, 15:06

tigerbine

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Warum fasst du die beiden Funktionen nicht einfach zusammen? verwirrt

verwirrt

Das stand doch sogar schon hier...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} G(x_1;x_2)=(25 - x_2)\cdot x_ 2 + 15x_1 -(5 + 10x_1) - (10 +5x_2) \end{eqnarray*}$

26.03.2009, 15:16

mathe-zwerg

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Weil ich von mYthos das so verstanden habe, dass meine Zusammenfassung falsch sei/ bzw. die von tittiplatsch.
Dann ist doch nun schlussendlich das Ergebnis folgendes ?
$\begin{eqnarray*} G(x_1,x_2) = -x_2 ^{2} + 20x_2 + 5x_1 - 15 \end{eqnarray*}$

LG

26.03.2009, 15:24

mYthos

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Was Tatsache war, ist, dass du nicht mal die Multiplikation bei G2 richtig bewerkstelligen konntest. Dabei waren wir doch stehen geblieben. Das Zusammenfassen wäre dann erst gekommen, wann endlich G2 richtig da steht!
So ist das, und nicht anders. Was anderes habe ich auch nicht behauptet!

mY+

26.03.2009, 15:35

mathe-zwerg

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Ich bin dir für deine hilfreichen Antworten ja wirklich dankbar Freude

Freude

und ich habe dir auch an nichts die Schuld gegeben, aber so musst du mich nicht anfahren !!!
Das hast du schon bei tittiplatsch gemacht. Ich denke das kann man auch ein wenig ruhiger mitteilen.

Die Ableitungen stimmen ja jetzt auch überein mit denen von tittiplatsch

$\begin{eqnarray*} G´(x_1) = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G´(x_2) = -2x_2 + 20 \end{eqnarray*}$

3. Wie kommt man nun zum totalen Differential?
Was müsste ich dazu lösen?

LG

26.03.2009, 16:22

mYthos

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Entschuldige bitte, war nicht so gemeint.

Zitat:

Original von mathe-zwerg
Weil ich von mYthos das so verstanden habe, dass meine Zusammenfassung falsch sei/ bzw. die von tittiplatsch.
...

Deswegen hat das halt so ausgesehen, als käme das von mir ...
-----------------

Hast du dir schon die Definition des vollständigen Differentials angesehen? Wende diese auf deine Gewinnfunktion $\begin{eqnarray*} G(x_1, x_2) \end{eqnarray*}$ an.

$\begin{eqnarray*} \dd G = \frac{\partial G}{\partial x_1} \dd x_1 + \frac{\partial G}{\partial x_2} \dd x_2 \end{eqnarray*}$

mY+

26.03.2009, 20:38

mathe-zwerg

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Die Definition habe ich mir eben auf wikipedia angeguckt, allerdings kann ich nicht so richtig auseinanderhalten, was jetzt was ist.

$\begin{eqnarray*} \dd G = \frac{\partial G}{\partial x_1} \dd x_1 + \frac{\partial G}{\partial x_2} \dd x_2 \end{eqnarray*}$

Der erste Teil gibt wohl die partielle Ableitung der Funktion nach der Variablen x und der zweite Teilnach y an.
Weiß aber nicht so recht wie ich das schreiben muss, jedenfalls würde ich die beiden Ableitungen von $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2 \end{eqnarray*}$ verwenden.

LG

26.03.2009, 21:01

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht doch schon alles da, du hast es ja von oben abgeschrieben, f entspricht G, x entspricht x1 und y wird x2. Ja, und die Brüche sind die beiden bereits bekannten partiellen Ableitungen.

Hinweise:

Aus den angegebenen Änderungsraten folgt dx1 = +3, dx2 = +1, und das Paar (x1; x2) = (20; 10) muss für die partiellen Ableitungen an der Stelle (20; 10) herangezogen werden. Dann vergleiche dieses Resultat für dG (welches einen Mittelwert für die gesamte Änderungstendenz von G an derselben Stelle darstellt) mit jenem Ergebnis, welches sich aus der Differenz der Funktionswerte für die beiden Stellen (23;11) und (20;10) ergibt und die exakte Differenz ist. Diese beiden Werte sollten einander näherungsweise entsprechen.

Welches Ergebnis erhältst du?

mY+

28.03.2009, 09:48

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@mathe-zwerg
Du findest es also nicht mehr der Mühe wert, nach der erhaltenen Hilfe hier noch mal ein Feedback zu geben. Das ist nicht nett - besser gesagt, grob unhöflich.
---------------------------------

Um die Aufgabe für die anderen Leser dennoch abzuklären, möchte ich noch den Schlusspunkt setzen, umsomehr, da die Lösung wirklich schon in greifbarer Nähe gelegen ist.

Die Gewinnfunktion, abhängig von den beiden Variablen x1, x2, war

$\begin{eqnarray*} G(x_1, x_2) = -x_2 ^{2} + 20x_2 + 5x_1 - 15 \end{eqnarray*}$

Deren totales Differential ist

$\begin{eqnarray*} \dd G = \frac{\partial G}{\partial x_1} \dd x_1 + \frac{\partial G}{\partial x_2} \dd x_2 \end{eqnarray*}$

Die beiden partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_1} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_2} = -2x_2 + 20 \ \ [ \to \ 0 \text{ bei } x_2 = 10 ] \end{eqnarray*}$

Auf Grund der Angabe betragen die Abweichungen (Differenzen) bei $\begin{eqnarray*} x_1 = 20, \ x_2 = 10 \end{eqnarray*}$ [an der Stelle (20; 10)] $\begin{eqnarray*} \dd x_1 = +3 \text{ und } \dd x_2 = +1 \end{eqnarray*}$ . Setzen wir die x Werte und diese Differenzen in $\begin{eqnarray*} \dd G \end{eqnarray*}$ ein, so kommt

$\begin{eqnarray*} \dd G = 5 \cdot 3 + 0 = 15 \end{eqnarray*}$

Berechnen wir hingegen die Differenz exakt aus den beiden Funktionswerten bei (23; 11) und (20; 10), so ist

$\begin{eqnarray*} G(23; 11) - G(20; 10) = 199 - 185 = 14 \end{eqnarray*}$

Wie ersichtlich, korrespondieren diese beiden Werte nunmehr gut minteinander.

mY+

31.03.2009, 17:06

mathe-zwerg

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Hallo mYthos,
tut mir leid wenn das so rüberkam, als ob ich kein Interesse mehr an der Lösung habe.
Ich habe jedoch auch noch andere Klausuren, für die ich lernen muss!

Deine Lösung habe ich mir angeschaut und verstehe diese auch, bis auf einen Punkt.
Folgender:
$\begin{eqnarray*} \dd G = 5 \cdot 3 + 0 = 15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5 \cdot 3 \end{eqnarray*}$ das verstehe ich, aber warum +0 ?

Wäre dir für die weiterführende Erklärung dankbar.

LG

31.03.2009, 20:34

mYthos

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Deswegen:

Zitat:

Original von mYthos
...
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial G}{\partial x_2} = -2x_2 + 20 \ \ [ \to \ 0 \text{ bei } x_2 = 10 ] \end{eqnarray*}$
...

Dass hier gerade Null kommt, ist ein Zufall. Du musst eben die Stelle x2 = 10 dort einsetzen.

mY+

31.03.2009, 21:08

mathe-zwerg

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso,
nun habe ich es verstanden.

Vielen Dank

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