verschiedene Kurzfragen

25.03.2009, 18:43

Hängemathe

verschiedene Kurzfragen

Ich habe heute einen Berg Aufgaben gerechnet und bin mit fast allem weitestgehend sehr gut zurechtgekommen. Hier und dort habe ich aber einen Zwischenschritt nicht verstanden. Da ich mit den Aufgaben selbst sonst zurechtgekommen bin mache ich jetzt nicht 4 Threads auf, um das Forum nicht mit meinen Beiträgen zuzumüllen.

1. Mein Skript sagt dass gilt:

$\begin{eqnarray*} cos (\phi)+isin(\phi)=e^{i\phi} \end{eqnarray*}$

Gilt dann auch folgendes:

$\begin{eqnarray*} cos (\phi)-isin(\phi)=e^{-i\phi} \end{eqnarray*}$ ?

2.

$\begin{eqnarray*} 2^{1003}e^{(500+\frac{3}{2})\pi i} = 2^{1003}e^{\frac{3}{2}\pi i} \end{eqnarray*}$

Wieso fällt die 500 einfach weg ?

3.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{(1+x^2)} \end{eqnarray*}$ sollte auf lokale und globale Extrema sowie Surpremum und Infimum untersucht werden.

Ich habe fröhlich abgeleitet etc. und als relatives Minimum f(-1)=-1/2 sowie als relatives Maximum f(1)=1/2 gefunden. Soweit richtig.

Beim Surpremum und Infimum wusste ich nicht recht weiter, hatte da eine Folge aus dem Definitionsbereich im Kopf die gegen den jeweiligen Wert konvergiert.

In der Lösung jedoch berechnen sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty }f( x) = 0 \end{eqnarray*}$ und dies soll die Begründung dafür sein, dass das lokale Minimum bzw. Maximum auch ein globales ist ?

25.03.2009, 19:00

Mathespezialschüler

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1. Ja, das gilt wegen $\begin{eqnarray*} -\sin\varphi=\sin(-\varphi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos\varphi=\cos(-\varphi) \end{eqnarray*}$ .

2. Die komplexe Exponentialfunktion ist $\begin{eqnarray*} 2\pi\operatorname i \end{eqnarray*}$ -periodisch.

25.03.2009, 19:15

Hängemathe

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Das der Kosinus 2-Pi-periodisch ist weiß ich. Aber weswegen dann die 500 wegfällt sehe ich nicht !

25.03.2009, 19:55

Elvis

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e
$\begin{eqnarray*} (500+\frac{3}{2}) \pi i = 500\pi i + \frac{3}{2} \pi i = 250*(2 \pi i) + \frac{3}{2} \pi i \end{eqnarray*}$

25.03.2009, 23:14

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Hängemathe
In der Lösung jedoch berechnen sie den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pm \infty }f( x) = 0 \end{eqnarray*}$ und dies soll die Begründung dafür sein, dass das lokale Minimum bzw. Maximum auch ein globales ist ?

Wegen dieser Gleichung gibt es ein $\begin{eqnarray*} K\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} |x|\geq K \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |f(x)|\leq\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist. Auf dem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} [-K,K] \end{eqnarray*}$ nimmt die stetige Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ein Maximum und Minimum an. Dies müssen dann notwendigerweise auch lokale Extrema sein, also genau die, die du gefunden hast. Da außerhalb von $\begin{eqnarray*} [-K,K] \end{eqnarray*}$ nur Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ angenommen werden, sind es sogar globale Extrema.

26.03.2009, 17:43

WebFritzi

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@Hängemathe: Es heißt Supremum, und nicht Surpremum. Augenzwinkern

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