Extremwertaufgabe kegel in Kegel

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25.03.2009, 21:30	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe kegel in Kegel Einem Kegel (Radius R, Höhe H seien gegeben) soll ein weiterer Kegel mit dem Radius r und der Höhe h so einbeschrieben werden, dass seine Spitze im Grundkreismittelpunkt des ersten Kegels liegt. Wie sind r und h zu wählen, damit das Volumen des eingeschriebenen Kegels maximal wird? soweit ich es hier erkennen kann sind formeln zur volumenberechnung und strahelensatz anwendbar aber wie ich hab keine ahnung..bitte hilfe!!
25.03.2009, 22:03	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo goethe8000. Also, man beginnt so: die zu maximierende Eigenschaft ist die Hauptfunktion. In diesem Fall das Volumen des eingeschriebenen Kegels. Nun braucht man noch eine Nebenbedingung um das Ganze einzuschränken. Wie du richtig erkannt hast, braucht man hier den Strahlensatz. Ein Tipp: der Radius R verhält sich zur Höhe H des Kegels wie r zu ... ? Welche Distanz kann man wählen, damit der Strahlensatz stimmt?
25.03.2009, 22:34	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich habe: Volumengleichung 1/3pir²h Strahlensatz : H/R=(H-h)r dabei sind H und R die Variablen für den äußeren Kegel -> h,r für inneren eingesetzt: V(h,r)=1/3pi(((H-r)R)²/H)*h soweit richtig?was nun?? ich komm hier nicht weiter?!
25.03.2009, 22:51	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor wir fortschreiten noch eine kleine Korrektur: wenn man den Strahlensatz (den du da richtig angewendet hast) nach r umformt, dann sieht das so aus: $\begin{eqnarray} \frac{H}{R} = \frac{H-h}{r} \Rightarrow r = \frac{H}{R \cdot (H-h)} \end{eqnarray}$ . Eingesetzt in $\begin{eqnarray} V(h,r) = \frac{\pi r^2 h}{3} \end{eqnarray}$ resultiert das in $\begin{eqnarray} V(h) = \frac{\pi \left(\frac{H}{R \cdot (H-h)}\right)^2 \cdot h} {3}= \frac{\pi}{3} \cdot \frac{H^2}{R^2 \cdot (H-h)^2} \cdot h \end{eqnarray}$ . Das heißt, dein Volumen hängt nur noch von der veränderbaren Variable h ab. Nun kannst du die erste Ableitung $\begin{eqnarray} V'(h) \end{eqnarray}$ bilden und nach Extremstellen suchen (weißt du wie das geht?). Wenn du die Extremstellen gefunden hast, dann musst du mittels zweiter Ableitung prüfen, ob die Extremstelle ein Maximum - d.h. $\begin{eqnarray} V''(h) < 0 \end{eqnarray}$ - oder Minimum - d.h. $\begin{eqnarray} V''(h) > 0 \end{eqnarray}$ - ist.
25.03.2009, 23:01	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke!! meinst du vielleicht nach extremstellen suchen die 1. ableitung gleich null setzen? aber ich weiß immer noch nicht wie du auf <!--StartFragment--> $\begin{eqnarray} \frac{H}{R} = \frac{H-h}{r} \Rightarrow r = \frac{H}{R \cdot (H-h)} \end{eqnarray}$ <!--EndFragment--> gekommen bist, denn nach meinen kenntnissen kommt da jedesmal r=((H-h)R)/H also nenner und zähler genau verkehrt rum o.O grübel*
25.03.2009, 23:06	MrPSI	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, Extremstellen finden heißt 1. Ableitung gleich 0 setzen. Und nochmal ja, da hab ich wirklich Mist gebaut. Verzeihung, da gehört das R und H vertauscht, hast recht.
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29.03.2009, 15:36	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte ich vll die lösung dazu haben MrPSI? ich habe nämlich komisches raus was nicht stimmen kann: V=pi/3 * R²h - 2h²/H + h³/H²
29.03.2009, 16:08	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, es wäre doch viel einfacher gewesen, bei der Volumenformel nicht den Radius (der ja im Quadrat steht) sondern die Höhe durch einen anderen Ausdruck zu ersetzen. Du bekommst dann eine viel einfachere Gleichung, was dann auch angenehmer zum Ableiten ist .... LG sulo edit: Ich habe alles durchgerechnet. Wenn Du Ergebnisse vergleichen willst, melde Dich
29.03.2009, 16:43	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
habe dir pn geschriebn sulo
29.03.2009, 17:01	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Und weil das keine wirkliche PN ist, sondern zum Thread gehört, kopiere ich es hierher: aufgabe kegel lösung Hi, ich habe bei der kegel in kegel aufgabe V Max =4pi/81 R²H* Deine Lösung ist richtig. Würde mich interessieren, ob Du es auf dem ersten Weg oder auf dem von mir vorgeschlagenen Weg gerechnet hast.
29.03.2009, 17:05	goethe8000	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, ich hab das mit deinem weg gelöst also in h eingesetzt danke
29.03.2009, 17:42	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest ggf. beachten, dass in der Aufgabenstellung nicht nach dem max. Volumen gefragt war, sondern danach, wie h und r aussehen müssen. Ich weiß, dass Du es richtig berechnet hast, sonst würde Dein Vmax nicht stimmen. Dennoch sollte bei Deiner Antwort auf jeden Fall auch stehen: r = 2/3 R und h = 1/3 H

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