Sterling number / Bell number

25.03.2009, 23:35

alle

Sterling number / Bell number

Hallo zusammen,

komme bei folgender Gleichung einfach nicht weiter.
Hoffe es kann mir jeamand helfen.
ich moechte folgende Gleichung beweisen. Wobei S(n,k) die Sterling number of second kind ist.

1.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}{n \choose k} S(k,l)S(n-k,m) = S(n,l+m){l+m \choose l} \end{eqnarray*}$

ausserdem braeuchte ich hier noch etwas hilfe:
2.

Fuer jede Primzahl p gilt

$\begin{eqnarray*} B(p) = 2 mod p \end{eqnarray*}$

wobei B(p) die Bell number ist, also

$\begin{eqnarray*} B(p) = \sum_{k=0}^{n}S(n,k) \end{eqnarray*}$

Ich habe es bei matheworld gefunden, nr (24) (mathworld - bell number), aber nur die Aussage, kein Beweis dazu.

vielen dank schon mal

edit:
Ich habe die Antwort mittlerweile, das ganze war sehr kompliziert.

05.04.2009, 22:51

Elvis

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Sterling Number
Das ist mir zu kryptisch, ich habe keine Lust, die Definition für $\begin{eqnarray*} S(n,k) \end{eqnarray*}$ zu suchen. Wenn du wirklich an einer Antwort Interesse hast, dann stelle bitte vollständige Fragen inclusive der Definitionen.

09.04.2009, 11:26

Frank Xerox

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RE: Sterling Number

Zitat:

Original von Elvis
Das ist mir zu kryptisch, ich habe keine Lust, die Definition für $\begin{eqnarray*} S(n,k) \end{eqnarray*}$ zu suchen.

Nun, so schrecklich kryptisch ist das Ganze eigentlich nicht.
Zu den Stirlingzahlen zweiter Ordnung sei noch folgendes gesagt:

$\begin{eqnarray*} S(n,k)=\left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=\frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} j^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k) \end{eqnarray*}$ oder eben:

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix}\right\}+k\left\{\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix}\right\} \end{eqnarray*}$

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