Matrizengleichung umformen

26.03.2009, 11:07

mathe-zwerg

Matrizengleichung umformen

Hallo alle zusammen,
aus einer Übung zur Klausur habe ich eine folgende Matrizengleichung, die umgestellt werden muss.

A X - E = C X

Das hier wären meine ersten Schritte, kann mir aber nicht vorstellen, dass das stimmt.

A X - E = C X
A X - C X = E
(A - C) X = E
X= E / A- C

LG

26.03.2009, 11:24

Zellerli

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Was sagt dir die vorletzte Zeile, wenn

$\begin{eqnarray*} (A - C) \times X = E \end{eqnarray*}$ ?

Dann gilt eine spezielle Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} (A - C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Nämlich?

Die Division, wie du sie schreibst, kenne ich nicht. Aber man könnte sie auch anders (siehe Lösung der Frage oben) interpretieren...

26.03.2009, 11:38

mathe-zwerg

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Puhhhh, eigentlich mag die Antwort ja einfach sein, aber für mich ist das leider nicht so eindeutig wie für dich Hammer

26.03.2009, 11:47

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix sein soll (?), dann ist das Produkt von $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix, also ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einfach was in Bezug auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ ?

26.03.2009, 12:01

mathe-zwerg

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Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix sein soll (?)

Ja das ist sie

Zitat:

dann ist das Produkt von $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix

das leuchtet mir auch ein, aber hier komme ich nicht hinter.

Zitat:

also ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ einfach was in Bezug auf die Matrix $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ ?

Die transpornierte eventuell? Wüsste dann aber nicht in wie weit mir das weiterhilft bzw. was dann nun die Lösung ist.
$\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ T

Sorry, aber wenn man in Mathe wirklich keinen Durchblick hat, fällt einem das schon schwer. Aber zum Glück gibt es noch andere Fächer Augenzwinkern

26.03.2009, 12:03

Zellerli

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Naaaa... Naaaaa...?!

Nene, wollen dich ja nicht hetzen. Aber kennst du nicht Gleichungen der Form:

$\begin{eqnarray*} AB=E \end{eqnarray*}$ . Wo die beiden Matrizen miteinander multipliziert die Einheitsmatrix ergeben. Da weiß man dann sofort: Aha $\begin{eqnarray*} A=... \end{eqnarray*}$ .

26.03.2009, 12:05

Zellerli

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Sorry für Doppelpost, aber auf die Gefahr, dass du meinen Beitrag gerade liest, editiere ich den nicht.

Die Transponierte ist geraten... Wie wärs denn, wenn du mal auf Wiki schaust. Da steht die Übersicht eigtl ganz gut.

26.03.2009, 12:11

mathe-zwerg

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Das sagt mir jetzt spontan nichts, im Hefter habe ich dazu auch nichts.
Aber viel würde ja jetzt nicht mehr übrig bleiben. Für mich ist das jetzt leider nur noch ein Rätsel.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} AB=E \end{eqnarray*}$ . Wo die beiden Matrizen miteinander multipliziert die Einheitsmatrix ergeben. Da weiß man dann sofort: Aha $\begin{eqnarray*} A=... \end{eqnarray*}$ .

Ah ha ???

LG

26.03.2009, 12:47

mathe-zwerg

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Ich habe mir das auf Wikipedia mal angeguckt...

So wie ich das verstanden habe liegt der Fehler ab der dritten Zeile
((A - C) X = E)

Meine Idee wäre nun aber folgende:
$\begin{eqnarray*} (A-C)^{-1} X = E (A-C)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und falls das richtig sein sollte, wäre der letzte Schritt dann
$\begin{eqnarray*} x = E (A-C)^{-1} \end{eqnarray*}$

LG

26.03.2009, 13:20

Mathespezialschüler

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Eben, wenn das Produkt zweier Matrizen die Einheitsmatrix ist, dann sind die Matrizen zueinander invers, also $\begin{eqnarray*} X=(A-C)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das gilt aber natürlich nur, falls in der Voraussetzung auch irgendwo steht, dass $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Sonst gibt es nämlich keine Lösung.

26.03.2009, 13:25

mathe-zwerg

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In der Fragestellung gibt es keinen solchen Hinweis, sprich das sie invertierbar ist.
Also wäre mein Ergebnis, nach ewigen hin und her, richtig ?!

LG und danke

26.03.2009, 13:52

Mathespezialschüler

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Ja.

26.03.2009, 15:29

Zellerli

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Aber wieso schreibst du

$\begin{eqnarray*} X = E (A-C)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Das hat was von $\begin{eqnarray*} x = 1 \cdot 25,4 \end{eqnarray*}$

26.03.2009, 16:54

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Eben, wenn das Produkt zweier Matrizen die Einheitsmatrix ist, dann sind die Matrizen zueinander invers, also $\begin{eqnarray*} X=(A-C)^{-1} \end{eqnarray*}$ . Das gilt aber natürlich nur, falls in der Voraussetzung auch irgendwo steht, dass $\begin{eqnarray*} A-C \end{eqnarray*}$ invertierbar ist.

Das muss es nicht, denn das folgt direkt aus (A - C)X = E. Augenzwinkern

26.03.2009, 19:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von WebFritzi
Das muss es nicht, denn das folgt direkt aus (A - C)X = E. Augenzwinkern

Naja ich hatte daran gedacht, dass die Aufgabenstellung ja auch folgendermaßen lauten könnte:

"Sei $\begin{eqnarray*} A=\ldots,C=\ldots \end{eqnarray*}$ . Bestimme alle Matrizen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , die die Gleichung $\begin{eqnarray*} (A-C)X=E \end{eqnarray*}$ lösen."

Und eventuell gibt es dann eben keine Lösung.

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