Komplexe Zahlen

26.03.2009, 12:09	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Es sei $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ eine komplexe Zahl und $\begin{eqnarray} z_1=\sqrt{2}(1+i) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray} z^3=w \end{eqnarray}$ . Zu finden ist w und alle weiteren Lösungen. $\begin{eqnarray} z_1=\sqrt{2}+ \sqrt{2}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mid z_1 \mid = \sqrt{\sqrt{2}^2 + \sqrt{2}^2 } = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_1=2e^{i \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray}$ und damit ist $\begin{eqnarray} w= (2e^{i \frac{\pi}{4}})^3 = 8e^{i \frac{3 \pi}{4}} \end{eqnarray}$ Bleiben noch die letzten beiden Lösungen und hier meine Frage, die mein Skript leider nur ungenügend beantwortet: Wenn ich eine (komplexe) Gleichung n-ten Grades habe, gibt es n Lösungen. Wenn ich im Komplexen bereits eine Lösung kenne, erhalte ich dann alle Lösungen indem ich zur 1. Lösung noch $\begin{eqnarray} \frac{2k \pi}{n} \end{eqnarray}$ zum Argument addiere, wobei k von 0 bis n-1 läuft? Also hier konkret: $\begin{eqnarray} z_1=2e^{i (\frac{\pi}{4}+\frac{2 \cdot 0 \pi}{3})}= 2e^{i \frac{\pi}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2=2e^{i (\frac{\pi}{4}+\frac{2 \cdot 1 \pi}{3})}= 2e^{i \frac{ 11 \pi}{12}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_3=2e^{i (\frac{\pi}{4}+\frac{2 \cdot 2 \pi}{3})}= 2e^{i \frac{ 19 \pi}{12}} \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Bleibt noch eine allgemeine Frage zum Argument / Polarkoordinaten die mich wurmt: In meinem Skript steht (für x+iy): Zum Beispiel kann man wählen: $\begin{eqnarray} \phi = arctan \frac{x}{y} \end{eqnarray}$ wenn x > 0 $\begin{eqnarray} \phi = \pi +arctan \frac{x}{y} \end{eqnarray}$ wenn x < 0 $\begin{eqnarray} \phi =\pm \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ wenn x=0 In der Klausur darf ich keinen Taschenrechner verwenden, also kann ich ja nicht einfach mal den ArcTangens von beliebigen x und y berechnen. Ich nehme zwar an dass daher auch meistens "einfache" Werte genommen werden, das weiß ich aber nicht. Da es heißt "z.B. kann man wählen", kann man dort auch willkürlich Werte einsetzen oder z.B. für x > 0 immer $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ ?
26.03.2009, 12:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen Bei so etwas würde ich "immer" in Polarkoordinaten arbeiten. $\begin{eqnarray} z_1=\sqrt{2}(1+i) = 2 \cdot \exp(i \cdot \frac{1}{8} \cdot 2\pi) \end{eqnarray}$ Das hast du ja auch gemacht. Potenziert man nun diese Zahl mit ()³, so ergibt sich: $\begin{eqnarray} w=2^3 \cdot \exp(i \cdot \frac{3}{8} \cdot 2\pi) \end{eqnarray}$ Von der urspünglichen Gleichung weiß man, dass sie 3 Lösungen besitzt. Alle 3 Lösungen haben den gleichen Betrag, 2. Nur die Winkel sind unterschiedlich. Hierbei musst du nun überlegen, welche Winkel 3mal addiert und bzgl. 2pi umgerechnet, wieder auf dem Winkel von w landen. Deine Ergebnisse kannst du also einfach einer Probe unterziehen und selbst urteilen. Zu dem arctan. Es ist ja nun so, dass wir uns am Einheitskreis für einen Quadraten entscheiden müssen. Der Quotient von x und y liefert aber i.A. keine eindeutige Zuordnung. Daher ist hier eine Fallunterscheidung aufgeführt. Für die Klausur solltest du dir nochmal die typischen Winkel 30°, 45°, 60° anschauen. Ohne TR wird wohl nichts anderes drankommen.
26.03.2009, 12:38	Hängemathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, genau so habe ich es auch gesehen. Meine Herangehensweise war also richtig? Insbesondere auf den Erhalt der weiteren Ergebnisse, wenn ich eines bereits kenne?
26.03.2009, 12:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann es auch berechnen, wenn man nur w kennen würde. Gleiche Argumentation.

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