Wachstumsverhalten.

26.03.2009, 14:27

Thomas1990

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Wachstumsverhalten.

Ein Bakterien Stamm:

Zu Beginn existiert nur ein einzellnes Bakterium.

Tag1) Das Bakterium wird geboren.
Tag2) Das Bakterium vermehrt sich. Die Zelle teilt sich.
Tag3) Es teilt sich nochmals. Wieder in 2 Teile.
Tag 4) Es hat sich jetzt 2 mal geteilt. Es ist bereit zu sterben.
Tag 5) Bakterie stirbt.

Nach 8 Tagen sind es also 47 Stück.
Nach wie vielen Tagen sind es 10^9 Stück?

Das ist ein Auszug aus einer Informatik Schularbeit. Es galt dieses Beispiel per Software zu lösen. (Hab ich natürlich bestanden Big Laugh

Big Laugh

)

Jedenfals dauerte das Code erstellen rund 2stunden.
Jetzt frag ich mich geht das mit reiner Mathematik nicht deutlich schneller? Lässt sich deratiges überhaupt Mathematisch lösen (Stichwort: Stetige Differnzierbarkeit) ?

Mir fehlt da irgendwie völlig der Einstieg. Hat jemand eine Hilfe?

26.03.2009, 20:09

Thomas1990

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RE: Wachstumsverhalten.
Hm... Hat zumindest jemand infos wo man infos herbekommt^^ Big Laugh

Big Laugh

26.03.2009, 22:23

mYthos

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Nach 8 Tagen ist demnach der Bakterienbestand von 1 auf das 47-fache gewachsen. Nach weiteren 8 Tagen wiederum auf das 47-fache, es gibt dann 47^2 Bakterien. Nach 24 Tagen 47^3, usw. Daraus kannst du eine mathematische Gesetzmäßigkeit ableiten. Welche?

mY+

27.03.2009, 12:55

Thomas1990

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Gut. Das ist hilfreich.

Dann hätten wir f(t) = 47^t --> mit 1 Tag = 1/8 t

Das ganze stimmt zwar in etwa hat aber eine gewisse Unschärfe.

Bei 9 Tage kommt dann rechnerisch 76,05.. raus. In Wirklichkeit sind es exakt 76
Das prob ist die "unregelmäßige" vernichtung von Bakterien.

Man bräuchte eine Wert Anstelle von 47 der im Idealfall im unendlichen liegt. Natürlich muss dann auch das t entsprechend angepasst werden.
Wie bildet man einen deratigen Extremwert?

Oder lässt sich eventuell mit der Natürlich exp. Funktion was machen.

verwirrt

verwirrt

27.03.2009, 14:39

Thomas1990

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Am nächsten Tag, also am Tag 9 gerechnet wird die Formel genauer.

f(t) = 76^t --> mit 1 Tag = 1/9 t

also

f(t) = 76^(t/9)
Je weiter ich rechne, desto genauer werden die Koeffizienten.
Ich muss also eine Rechenvorschrift herleiten welche mir diese Variablen gibt.

Das ganze erinnert mich ein wenig an die nicht erfolgreichen Versuche Pi anzunähern :/

Ideen?

07.04.2009, 11:20

Thomas1990

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Ich hab irgendwie immer noch keine Lösung gefunden.

Irgendwie bin ich am verzweifeln.

Ist das ein Problem was sich Mathematisch gar nicht lösen lässt?

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07.04.2009, 12:09

mYthos

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Dazu müsste zunächst noch geklärt werden, weshalb es nach 5 Tagen 47 Bakterien gibt.

Eine rein exponentielle Wachstumsfunktion lässt sich natürlich mathematisch abhandeln, keine Frage. Der Anfangsbestand sei $\begin{eqnarray*} m_0 \end{eqnarray*}$ , die vergangene Zeit in Tagen t, k die Wachstumskonstante:

$\begin{eqnarray*} m(t) = m_0 \cdot e^{kt} \end{eqnarray*}$

In deiner Aufgabe / (Angabe mit 47 nach 8 Tagen) ist $\begin{eqnarray*} m(1) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m(8) = 47 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 = m_0e^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 47 = m_0e^{8k} \end{eqnarray*}$
--------------------------

Daraus lassen sich die Koeffizienten der Funktion bestimmen.

mY+

08.04.2009, 12:57

etzwane

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RE: Wachstumsverhalten.

Zitat:

Original von Thomas1990
Ein Bakterien Stamm:

Zu Beginn existiert nur ein einzellnes Bakterium.

Tag1) Das Bakterium wird geboren.
Tag2) Das Bakterium vermehrt sich. Die Zelle teilt sich.
Tag3) Es teilt sich nochmals. Wieder in 2 Teile.
Tag 4) Es hat sich jetzt 2 mal geteilt. Es ist bereit zu sterben.
Tag 5) Bakterie stirbt.

Nach 8 Tagen sind es also 47 Stück.
.....

Ich habe versucht, diese Aufgabe über eine Differenzengleichung und mit Hilfe von Excel zu anzugehen, aber irgendwie habe ich diese Aufgabe nicht ganz verstanden und mache einen Fehler. Vielleicht kann ja jemand schreiben, wieviel Bakterien an den Tagen 2 bis 7 existieren, damit ich das besser nachvollziehen kann.
Die Vorgehensweise von mYthos ist mir schon klar, man erhält damit aber nicht die (für Pfennigfuchser wichtigen) exakten Zahlen

08.04.2009, 14:08

Gualtiero

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RE: Wachstumsverhalten.
So eine Tabelle habe ich mir gemacht, weil ich an dem Beispiel auch schon viel herumprobiert habe, komme aber trotzdem nicht weiter.
Ich glaube, vom Zeitinvestment her ist das Programm von Thomas1990 mit zwei Stunden doch die beste Lösung.

Tag. . Anzahl
1) . . . 1
2) . . . 2
3) . . . 4
4) . . . 7
5) . . .11
6) . . .18
7) . . .29
8) . . .47
9) . . .76
10) . 121
11) . 196

09.04.2009, 00:24

etzwane

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Diese Aufgabe hat mich nicht losgelassen, und ich denke, dass ich eine mathematische Lösung gefunden habe.

Zuerst meine Überlegungen in Excel, siehe den Dateianhang:

Man erkennt zwei identische, aber versetzt laufende Folgen für die Anzahl der neugeborenen/durch Teilung entstandenen und der gestorbenen Bakterien:
1,1,2,3,5,8,13,..., die bekannte Fibonacci-Folge.

Das Glied $\begin{eqnarray*} z(n) \end{eqnarray*}$ der Folge entspricht der Summe der beiden vorhergehenden Glieder, also
$\begin{eqnarray*} z(n)=z(n-1)+z(n-2) \end{eqnarray*}$ .

Eine Differenzengleichung diese Art wird gelöst durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} z(n)=a \cdot q^n \end{eqnarray*}$ ,
das führt auf eine quadratische Gleichung für die beiden $\begin{eqnarray*} q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 \end{eqnarray*}$ .

Aus nun $\begin{eqnarray*} z(n)=a_1 \cdot q_1^n+a_2 \cdot q_2^n \end{eqnarray*}$ und den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} z(1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(2)=1 \end{eqnarray*}$ lassen sich $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Die Durchrechnung ergibt für das n-te Glied der Folge, was der Anzahl der neugeborenen Bakterien am Tage n entspricht:
$\begin{eqnarray*} z(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\}^n \end{eqnarray*}$

Die Anzahl der lebenden Bakterien am Tag n ergibt sich dann zu

$\begin{eqnarray*} S(n)=z(n)+z(n-1)+z(n-2)+z(n-3) \end{eqnarray*}$

und wer möchte, kann diesen Ausdruck als Teilsumme einer geometrischen Folge auch in eine geschlossene mathematische Form bringen.

Mit Zahlen ergibt sich für die Summe für n>3 näherungsweise:
$\begin{eqnarray*} S(n)=4.236067977 \cdot 1.618033989^{n-3}-0.236067977 \cdot (-0.618033989)^{n-3} \end{eqnarray*}$

Probe für n=12: S(12)=322.0000004

Für große n ist der zweite Summand sehr klein, so dass man für 10^9 Bakterien abschätzen darf:
$\begin{eqnarray*} 10^{9} \leq 4.236 \cdot 1.618^{n-3} \end{eqnarray*}$ , woraus man $\begin{eqnarray*} 43 \leq n \leq 44 \end{eqnarray*}$ erhält.

09.04.2009, 09:58

Thomas1990

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Wow!

Sau gut.

Ergebnis stimmt.
Ich werd jetzt zwar noch ein paar Tage brauchen, dass ich die Lösung verstanden habe verwirrt

verwirrt

aber danke dafür!

Wirklich toll gemacht. Thumbs up! Prost

Prost

Drückt mir die Daumen, dass ich da noch dahinter komme^^

09.04.2009, 11:49

etzwane

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Zitat:

Original von Thomas1990
Drückt mir die Daumen, dass ich da noch dahinter komme^^

Frag ruhig bei Problemen, ich schau gelegentlich hier rein und helfe, wenn ich kann.

Dann habe ich heute morgen gesehen, dass man die Formel für S(n) für n>3 noch vereinfachen kann zu

$\begin{eqnarray*} S(n)=1.618033989^{n}-(-0.618033989)^{n} \end{eqnarray*}$

so sieht es doch wirklich schön aus!

Probe für n=15: S(n)=1364.000003 mit dieser Näherung

09.04.2009, 12:16

Gualtiero

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@etwane
1,618033989 ist ja genau das Seiten-Verhältnis im Goldenen Schnitt!
Sehr interessant.

Respekt!

10.04.2009, 09:14

Bierdeckel

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Thomas1990 hier
Ich musste mir jetzt endlich mal einen Account zulegen Wink

Wink

So fangen wir mal an.

Zitat:

Original von etzwane

Man erkennt zwei identische, aber versetzt laufende Folgen für die Anzahl der neugeborenen/durch Teilung entstandenen und der gestorbenen Bakterien:
1,1,2,3,5,8,13,..., die bekannte Fibonacci-Folge.

Ganz klar, geniale Entdeckung!

Zitat:

Das Glied $\begin{eqnarray*} z(n) \end{eqnarray*}$ der Folge entspricht der Summe der beiden vorhergehenden Glieder, also
$\begin{eqnarray*} z(n)=z(n-1)+z(n-2) \end{eqnarray*}$ .

Eine Differenzengleichung diese Art wird gelöst durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} z(n)=a \cdot q^n \end{eqnarray*}$ ,
das führt auf eine quadratische Gleichung für die beiden $\begin{eqnarray*} q_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 \end{eqnarray*}$ .

Aus nun $\begin{eqnarray*} z(n)=a_1 \cdot q_1^n+a_2 \cdot q_2^n \end{eqnarray*}$ und den Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray*} z(1)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z(2)=1 \end{eqnarray*}$ lassen sich $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

Ich verstehe nicht wozu das ganze verwirrt

verwirrt

Man kann doch alles mit deiner unten stehenden Formel, welche ja schon bewiesen wurde, berechnen

Zitat:

Die Durchrechnung ergibt für das n-te Glied der Folge, was der Anzahl der neugeborenen Bakterien am Tage n entspricht:
$\begin{eqnarray*} z(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \{\frac{1+\sqrt{5}}{2}\}^n - \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \{\frac{1-\sqrt{5}}{2}\}^n \end{eqnarray*}$

Die Formel von Moivre Binet eben.
Hast du die selbst hergeleitet oder hast du eine Formelbuch bemüht?^^

Zitat:

Die Anzahl der lebenden Bakterien am Tag n ergibt sich dann zu
$\begin{eqnarray*} S(n)=z(n)+z(n-1)+z(n-2)+z(n-3) \end{eqnarray*}$

Die hier verstehe ich nicht.
Ist diese nicht vollständig niedergeschrieben? Ich kann dir hier nicht folgen :/
Ich hab es mit 2 Summenfunktionen der Fibonacci Folge versucht.
Die geborenen bis zum Tag n minus die gestorbenen bis zum Tag n. Noch hab ich hier kein Ergebniss. Vl pack ich das heute Nachmittag noch.
Oder kannst du mir erklären warum du in deiner Formel nur die letzen 4 Fibonacci Zahlen addierst?

Der Lösungsteil ab hier ist mir klar.

Mfg.
Thomas.

P.s.

Zitat:

Original von Gualtiero
@etwane
1,618033989 ist ja genau das Seiten-Verhältnis im Goldenen Schnitt!
Sehr interessant.
Respekt!

Das liegt am sehr nahen "Verwandtschaftsverhältnis" der Fibonacci Zahlen zum Goldenen Schnitt. Das Verhältnis von 2 aufeinander folgenden Fibonacci zahlen nähert sich dem Goldenenschnitt an.

11.04.2009, 12:31

Bierdeckel

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Ich hab das ganze jetzt mal mit Mathcad versucht.

Edit (mY+): Bitte keine Links zu externen Bildcontainern! Bild hier hochladen!

[attach]10340[/attach]

Ich find es wirklich interessant, wie einfach sich diese Funktion darstellen lässt.
Und nur nach vollen 24h ist das Ergebniss nicht komplex. Erstaunlich wie ich finde!

11.04.2009, 15:49

etzwane

Auf diesen Beitrag antworten »

@Bierdeckel

Ich hatte keine Formelsammlung usw. zur Hand und musste alles "zu Fuß" durchrechnen/herleiten, deshalb auch mein Ansatz z(n)=a*q^n, der auf die gesuchte Anzahl der am Tag geborenen (mit den Wurzelausdrücken) führt.

Versuch einfach einmal, diese Rechnung wie beschrieben nachzuvollziehen.

Und weil es schon sehr spät war, hatte ich auch nicht erkannt, dass die gesuchte Summe geboren minus gestorben ebenfalls eine Fibonacci-Folge ist.

Und dann dachte ich erst, dass die Ermittlung Summe-geboren sowie Summe-gestorben zu kompliziert wird, und deshalb nur die Summe der geborenen Bakterien der letzten 4 Tage (die anderen sind ja mittlerweile gestorben) errechnet.

Am nächsten Morgen hatte ich dann gesehen, dass man den Ausdruck für die Summe der lebenden Bakterien noch vereinfachen kann.

Mein Rechnungsgang war wohl etwas umständlich, ich war aber froh, ein Ergebnis gefunden zu haben.

11.04.2009, 17:35

Bierdeckel

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Zitat:

Original von etzwane
@Bierdeckel

Ich hatte keine Formelsammlung usw. zur Hand und musste alles "zu Fuß" durchrechnen/herleiten, deshalb auch mein Ansatz z(n)=a*q^n, der auf die gesuchte Anzahl der am Tag geborenen (mit den Wurzelausdrücken) führt.

genau das werd ich jetzt noch versuchen.

smile

smile

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