Extremwertproblem

26.03.2009, 16:26

Highshine

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Extremwertproblem

hey(:
ich muss folgende aufgabe lösen:

Der Querschnitt eines kanals ist ein rechteck mit angesetztem halbkreis. wähle die maße dieses rechtecks so,dass bei gegebenen umfang u des querschnitts sein inhalt möglichst groß wird.

Ich habe folgendes:

Extremalbedingung: $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \pi r^2+2rb \end{eqnarray*}$
Nebenbed. : $\begin{eqnarray*} U=\pi r+2r+2b \end{eqnarray*}$

so,ich zabe die nebenbed. nach b umgestellt:

$\begin{eqnarray*} U=\pi r+2r+2b \Rightarrow U- \pi r+2r=2b \Rightarrow b= \frac{U}{2} - \frac{\pi r}{2} +r \end{eqnarray*}$

so,dann das ganze in A einsetzen ( für b)

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \pi r^2+2r*( \frac{U}{2} - \frac{\pi r}{2} +r) \end{eqnarray*}$

so, ich habe es geschafft es bis zu einem bestimmten schritt aufzulösen.,komme dann aber nicht weiter. (falls es bis hierhin überhaupt richtig ist.)

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \pi r^2+2r*( \frac{U}{2} - \pi r) \end{eqnarray*}$

habe jetzt an das ausmultiplizieren gedacht aber bei mir kommt da irgendwie wirwarr heraus.

bitte um Hilfe.

LG

26.03.2009, 16:50

klarsoweit

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RE: Extremwertproblem

Zitat:

Original von Highshine
$\begin{eqnarray*} U=\pi r+2r+2b \Rightarrow U- \pi r+2r=2b \end{eqnarray*}$

Hier hast du falsch umgeformt. Und warum verschwindet am Schluß das " + r" aus der Klammer?

26.03.2009, 16:55

Highshine

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muss da
$\begin{eqnarray*} U-\pi r-2r =2b \end{eqnarray*}$
stehen?

und dann durch 2 teilen?

wo meinst du,verschwindet das r?

LG

26.03.2009, 17:08

klarsoweit

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RE: Extremwertproblem

Zitat:

Original von Highshine
und dann durch 2 teilen?

Man kann auch mit r multiplizieren und dann das 2rb in der Flächenformel ersetzen.

Zitat:

Original von Highshine
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \pi r^2+2r*( \frac{U}{2} - \frac{\pi r}{2} +r) \end{eqnarray*}$

so, ich habe es geschafft es bis zu einem bestimmten schritt aufzulösen.,komme dann aber nicht weiter. (falls es bis hierhin überhaupt richtig ist.)

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \pi r^2+2r*( \frac{U}{2} - \pi r) \end{eqnarray*}$

Die Umformung von der oberen zur unteren Gleichung ist falsch.

26.03.2009, 17:17

Highshine

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oh mist.

ich habe es wohl nicht so mit dem umformen.

aber wieso mit r multiplizieren? oder meinst du teilen? weil wie soll ichd as denn multiplizieren?
bei welchem schritt?

LG

26.03.2009, 17:24

Dima

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Die Frage ist hier doch, wie du die Maße des Rechtecks bestimmen musst.
Wieso bestimmst du eine Funtkion in Abhängigkeit von r? Du willst doch b haben.

Außerdem bringt ein Kreis bzw. ein Halbkreis immer den kleinsten Umfang im Verhältnis zu seinem Flächeninhalt, weshalb b am besten null werden sollte und nur noch der Halbkreis überbliebe.

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26.03.2009, 17:28

Highshine

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ja,ich möchte ja auch nach b umformen. aber ich kann doch die seiten des rechtecks erst ausrechnen,wenn ich meine ableitungen gebidlert habe usw. da muss ich doche rstmal hinkommen. ich rbauche ja erstmal den Inhalt des ganzen.

LG

26.03.2009, 17:29

Dima

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Aso, die erste Äußerung von mir ist egal, man kann ja von r am Ende auf b schließen.

26.03.2009, 17:35

Highshine

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aber ich komme da einfach nicht weiter.

weil ist das denn jetzt richtig,wenn ich anch b umforme:

$\begin{eqnarray*} (U/2)- (\pi r/2) -r =b \end{eqnarray*}$

?

26.03.2009, 17:48

Dima

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ja

26.03.2009, 17:52

Highshine

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gut,und wenn ich das in A= einsetze habe ich doch:

$\begin{eqnarray*} A=(1/2)*\pi r^2+2r*( (U/2)- (\pi r/2)-r) \end{eqnarray*}$

?

so und jetzt komme ich nicht weiter.

LG

26.03.2009, 18:10

Highshine

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bitte irh müsst mir helfen,ich will das unbedingt schaffen ):

LG

26.03.2009, 18:12

sulo

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Da Dima hier nicht registriert ist, springe ich mal ein, solange er/sie sich nicht meldet...

Ich würde jetzt die Klammer auflösen, sonst ist es zu kompliziert beim Ableiten.

26.03.2009, 18:21

Highshine

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danke(:

meinst du ausmultiplizieren?

wiel ich habe gedacht ich kann die klammer erstmal evreinfachen indem ich die vielleicht (pi*r/2)-r dass ich vielleicht das pi*r/2 als (pi/2)*r schreiben kann und dann habe ich ja eigentlich r-r dahinter stehen und das ist ja 0. bleibt dann nicht nur insgesamt ind er klammer (U/2)- (pi/2) über ?

LG

26.03.2009, 18:29

sulo

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Ähh

verwirrt

Da steig ich nicht ganz durch und ich denke, das Ergebnis stimmt auch nicht. Magst Du keine Klammern auflösen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2+2r\cdot ( \frac{U}{2} - \frac{\pi \cdot r}{2}-r) \end{eqnarray*}$

So, jetzt habe ich das mal anders hingeschrieben.
Das Auflösen geht doch ganz einfach ...

26.03.2009, 18:33

Highshine

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ich habe das schon so oft versucht ich weiß nicht wie.
soll ich jetzt jedes mit jedem mal nehmen?
ich weiß nicht wie,weil ich das ja ganz anders gemacht hätte.

LG

26.03.2009, 18:40

sulo

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Ja, aber es wäre falsch geworden, bin's mal durchgegangen ...

Also, die Klammer löst Du mit Hilfe des Distributivgesetzes auf. Ich mache es Dir mal ausführlich vor, damit Du es verstehst...

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2+2r\cdot ( \frac{U}{2} - \frac{\pi \cdot r}{2}-r) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 + 2r \cdot\frac{U}{2} - 2r\cdot\frac{\pi\cdot r }{2}- 2r\cdot r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2} \cdot \pi r^2 + Ur - \pi r^2 -2r^2 \end{eqnarray*}$

So, und jetzt noch vereinfachen...

26.03.2009, 18:43

Highshine

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oh man es tut mir leid aber ich evrstehe das überhaupt nicht.

wie man auf 2r* (pi*r/2) usw. kommt.
):

überhaupt nicht.

LG

26.03.2009, 18:48

sulo

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Habe ich gesagt: Distributivgesetz. Das wird in der 5. / 6. Klasse behandelt.

Ich frage mich, wie Du es in die Oberstufe geschafft hast, ohne dieses Gesetzt zu kennen oder wenigstens zu verstehen, wenn es angewendet wird. verwirrt

verwirrt

Nur ein Beispiel: 4*(3 + 2 + 7) = 4*3 + 4*2 + 4*7

Nach diesem Prinzip ging das bei unserer Gleichung eben auch ...

26.03.2009, 18:49

Highshine

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ahh,sorry

doch,ich habe es doch evrstanden.
ich habe das eben selbst grechnet,komme auch darauf,tut mir leid,habe nicht richtig geguckt.
moment ich amche mal weiter.

26.03.2009, 18:53

Highshine

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bleibt da jetzt 0,5+Ur-2r^2

über?

LG

26.03.2009, 18:57

sulo

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Wo ist das pi*r^2 geblieben ? verwirrt

verwirrt

26.03.2009, 18:58

Highshine

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ich habe gedacht ich kann das 0,5*pi*r^2 von dem (1)Pi*r^2 abziehen?

LG

26.03.2009, 19:01

sulo

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Klar, richtig gedacht.

Aber: was passiert, wenn Du von einem Apfel einen halben Apfel abziehst? Bleibt dann 1/2 oder
1/2 Apfel übrig? Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2009, 19:06

Highshine

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?

hä?^^
1/2 oder 1/2?
wo ist dennd a der unterschied.

oder meinst du -1/2 ?
weil das müsste da eigentlich hin,glaube ich^^

wenn ich 0,5 - 1 rechne?!

26.03.2009, 19:13

sulo

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Habe ich das so schlecht formuliert?
Wenn Du von einem Apfel einen halben Apfel abziehst, bleibt ein halber Apfel übrig, nicht 1/2.

Oder im Klartext:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \pi r^2 - \pi r^2 = - \frac{1}{2} \cdot \pi r^2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

26.03.2009, 19:16

Highshine

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ah,stimmt^^
ich glaube ichw erde langsam müde..
also steht da nun -(1/2)*pi*r^2+Ur-2r^2
?

26.03.2009, 19:18

sulo

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Freude

Wäre übrigens nett, wenn Du auch den Formeleditor benutzen würdest ....

26.03.2009, 19:20

Highshine

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ja,das dauert mir imemr zu lange^^
okay und nun die ableitungen.
dazu habe ich eine frage:
fällt das Ur weg? beid er ersten ableitung?
ich würden sagen ja.

LG

26.03.2009, 19:26

Highshine

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ne,nur r fällt weg
habe ich dann A'= -pi*r+U-4r

?

26.03.2009, 19:27

sulo

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Freude

Kannst evtl etwas anders sortieren ...

26.03.2009, 19:29

Highshine

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mhm,ich wüsste jetzt nicht wie.
naja ich habe weiter gemacht,also notw. beding.: A'=0
da habe ich nach U umgeformt und habe stehen: U=4r+pi*r

stimmt das?

26.03.2009, 19:32

sulo

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wieder

Freude

(das mit dem Sortieren war nicht so wichtig, ich hätte nur das U an den Anfang gesetzt ,
also: A'= U - pi*r - 4r Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

26.03.2009, 19:33

Highshine

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gut und laut der hinr. bedingung ist es kleiner als 0 und es liegt ein maxima vor.
jetzt habe ich die 4r+Pi*r in die funktion von oben eingesetzt:

(U/2)- (pi*r/2)-r = b
dann habe ich da :
(4r/2)-r =b

aber was jetzt?

26.03.2009, 19:35

Highshine

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kann ich 4 und 2 kürzen sodass 2r-r=1r überbleibt =b?

26.03.2009, 19:39

sulo

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Hmm, das hätte ich jetzt nicht gemacht.

Zitat:

gut und laut der hinr. bedingung ist es kleiner als 0 und es liegt ein maxima vor.

wo hast Du die 2. Ableitung ? verwirrt

verwirrt

(Übrigens: 1 Maximum, viele Maxima)

Zitat:

jetzt habe ich die 4r+Pi*r in die funktion von oben eingesetzt:

Nee, das hättest Du nicht tun sollen ...

Gehen wir einen Schritt zurück:

Du hattest stehen: U=4r+pi*r
Das würde ich jetzt umformen, damit Du r ausrechnen kannst.

26.03.2009, 19:41

Highshine

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die 2. ableitung ist doch A''=-pi-4
das ist doch <0,oder?

mhm,achso.
soll ich die jetzt nach r umformen?

26.03.2009, 19:45

sulo

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Zitat:

die 2. ableitung ist doch A''=-pi-4
das ist doch <0,oder?

Ja, stimmt, ich konnte es nur nicht nachvollziehen, dass Du es tatsächlich auf A'' bezogen hattest Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

soll ich die jetzt nach r umformen?

Ja, nur zu smile

smile

26.03.2009, 19:47

Highshine

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mhm,irgendwie ist das komisch.

steht da dann U-pi/4=r
?
verstehe ich nicht ganz
oder r^2?

26.03.2009, 19:48

sulo

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Stimmt leider nicht so ganz ....

Schreib mal Deine Schritte auf

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