Bestimmen der Fixgeraden bei Gleitwendungen

27.03.2009, 19:16

Sanne

Bestimmen der Fixgeraden bei Gleitwendungen

Hallo...

Ich hab folgende Abbildung gegeben:

$\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R^{2} -> \mathbb R^{2}, (x,y) -> (-y+3,-x-7) \end{eqnarray*}$

Ich hab auf Fixpunkte überprüft und festgestellt, dass diese Abb. keine Fixpunkte hat. Weiterhin kommt bei der Überprüfung der geradentreue folgendes raus:

(u,v) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [-b, -a, -7a+3b+c] ist

So daran erkenne ich ja nun, da es nicht der Abbildungsvorschrift der Translation entspricht, dass es sich, um eine echte Gleitwendung (oder auch Schubspiegelung genannt) handeln muss.

Ich weiß, ja nun, dass Gleitwendungen die Gerade an der gespiegelt wird, ich nenne sie nun mal g als einzige Fixgerade besitzen.

Nun zu dem eigentlichen Problem was ich habe....
Ich kann Fixgeraden von Translationen berechnen, weiß nun allerdings nicht, wie ich bei einer Gleitwendung die Fixgerade g berechnen kann....

Hoffe es kann mir jemand einen Tipp geben....

LG Sanne....

27.03.2009, 19:34

Dual Space

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RE: Bestimmen der Fixgeraden bei Gleitwendungen
Das ist widersprüchlich.

Zum einen hast du festgestellt dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ keine Fixpunkte hat. Nun willst du aber die Fixgerade berechnen?

Dieses Vorgehen will mir nicht so recht einleuchten.

27.03.2009, 20:25

Sanne

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Was ist denn da widersprüchlich???

Eine Translation $\begin{eqnarray*} \Im _A,_B \end{eqnarray*}$ hat ja auch keine Fixpunkte, sondern nur Fixgeraden und zwar die, die Parallel zu AB sind...

Also es ist übrigens auch nicht so wichtig in Bezug auf diese eine Aufgabe.. Ich müsste im allgemeinen wissen, wie man bei Gleitwendungen Fixgeraden bestimmt...

Warum ist meine Frage nun eigentlich in der Analysis gelandet???

LG Sanne...

27.03.2009, 20:59

WebFritzi

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Vielleicht sagst du uns erstmal, was eine Gleitwendung ist. Danke.

Deine Abbildung hat übrigens 4 Fixgeraden.

27.03.2009, 21:13

Sanne

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Die Verkettung einer Geradenspiegelung $\begin{eqnarray*} \sigma_g \end{eqnarray*}$ und einer Translation $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ längs g nennt man Gleitwendung (Gleitspiegelung oder Schubspiegelung) Ist $\begin{eqnarray*} \Im \end{eqnarray*}$ ungleich id so nennt man $\begin{eqnarray*} \Im \sigma_g \end{eqnarray*}$ eine echte Gleitwendung.

Ich muss ansich auch nicht wissen wie viele Fixgeraden es gibt, sondern nur wie die Form der Fixgeraden ist.

Aber wieso hat meine Abb 4 Fixgeraden??? Also... weil Gleitwendungen haben nur eine Fixgerade und das is die, an der gespiegelt wird.
Und Translationen haben ja beliebig viele....

Ich bin grad ein wenig verwirrt, weil soweit ich weiß kann man die genaue Anzahl doch gar nicht bestimmen....

27.03.2009, 22:25

Dual Space

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Dem Namen nach hatte ich gedacht, dass eine Fixgerade eine spezielle Menge von Fixpunkten ist. Offenbar liege ich damit aber falsch.

28.03.2009, 01:07

WebFritzi

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@Dual: Eine Fixgerade ist natürlich eine Gerade, die unter der Abbildung fix bleibt, d.h., das Bild jedes Punktes auf der Geraden liegt wieder auf der Geraden.

@Sanne: Ich hab mal wieder falsch gelesen. Es sei S die Spiegelung an einer Geraden g und T eine Translation. Die Gleitwendung ist dann

$\begin{eqnarray*} G = T\circ S. \end{eqnarray*}$

Die Gerade g kann dargestellt werden als

$\begin{eqnarray*} g : \vec x = \vec{x_0} + t\vec u. \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} \vec{x_0} \end{eqnarray*}$ der Orts- und $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ der Richtungsvektor. Die Translation T kann man darstellen durch

$\begin{eqnarray*} T(\vec x) = \vec x + \vec v. \end{eqnarray*}$

Die Fixgerade der Gleitwendung ist dann gegeben durch

$\begin{eqnarray*} h : \vec x = \vec{x_0} + \frac 1 2 \vec v + t\vec u, \end{eqnarray*}$

denn die Spiegelung S lässt sich darstellen als S = 2P - I, wobei P die Orthogonalprojektion auf die Gerade g ist und I die Identitätsabbildung, und somit gilt für einen Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x = \vec{x_0} + \frac 1 2 \vec v + t\vec u \end{eqnarray*}$ auf der Geraden h:

$\begin{eqnarray*} G(\vec x) &=& T(S(\vec x)) = S(\vec x) + \vec v = 2P\vec x - \vec x + \vec v\\ &=& 2(\vec{x_0} + s\vec u) - (\vec{x_0} + \frac 1 2 \vec v + t\vec u) + \vec v\\ &=& \vec{x_0} + \frac 1 2 \vec v + (2s - t)\vec u, \end{eqnarray*}$

was ein Punkt auf der Geraden h ist. Dabei haben wir

$\begin{eqnarray*} P\vec x = \vec{x_0} + s\vec u \end{eqnarray*}$

mit einem reellen s benutzt, denn $\begin{eqnarray*} P\vec x \end{eqnarray*}$ liegt ja auf der Geraden g.

Für deine vorliegende Gleitwendung musst du also nur noch Spiegelung und Translation herausfinden.

28.03.2009, 08:29

Huggy

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Alternative zu dem Vorschlag von WebFritzi:

Setze die gegebene Abbildung in die Geradengleichung

$\begin{eqnarray*} y=ax+b \end{eqnarray*}$

ein und sortiere das Ergebnis in die Form

$\begin{eqnarray*} y=cx+d \end{eqnarray*}$

Wenn die Gerade durch die Transformation in sich selbst übergehen soll, muss gelten:

$\begin{eqnarray*} a=c\quad und \quad b=d \end{eqnarray*}$

Daraus lassen sich a und b bestimmen. Bei deiner Abbildung ergibt sich

$\begin{eqnarray*} y=-x-2 \end{eqnarray*}$

als Fixpunktgerade. Der Sonderfall einer eventuell senkrechten Fixpunktgeraden muss separat behandelt werden. Das ist aber ganz einfach und bei deiner Abbildung offensichtlich nicht möglich.

28.03.2009, 11:14

Sanne

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@ Dual space
Hab dir da mal was rausgesucht...
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der bei der Abbildung auf sich abgebildet wird.
Eine Fixgerade ist eine Gerade, die bei der Abbildung als Ganzes auf sich abgebildet wird, wobei aber nicht jeder einzelne Punkt auf sich abgebildet wird, sondern möglicherweise ein Punkt der Geraden auf einen anderen Punkt der Geraden.
Eine Fixpunktgerade ist eine Gerade, die bei der Abbildung als Ganzes auf sich
abgebildet wird, wobei aber zusätzlich jeder einzelne Punkt auf sich abgebildet wird. Die ganze Gerade besteht also aus Fixpunkten.

@webfritzi
Ich hab leider noch nicht mit Vektoren gerechnet.. kann es sein das das auch irgendwie anders geht?

@Huggy
also ich kenn nur die Geradengleichung in folgender Form:
y= mx+b wobei m die steigung, also - $\begin{eqnarray*} \frac {a}{b} \end{eqnarray*}$ ist und b ist - $\begin{eqnarray*} \frac {c}{b} \end{eqnarray*}$ ,der y-Achsenabschnitt...

Das ganze kommt aus der Formel ax+by+c=0 und dann geben wir Geraden immer in Tripeln also [a,b,c] an...

Ich hab nun nicht so ganz verstanden was bei dir das a,b,c und d ist...

28.03.2009, 11:51

Huggy

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Zitat:

Original von Sanne
@Huggy
also ich kenn nur die Geradengleichung in folgender Form:
y= mx+b wobei m die steigung, also - $\begin{eqnarray*} \frac {a}{b} \end{eqnarray*}$ ist und b ist - $\begin{eqnarray*} \frac {c}{b} \end{eqnarray*}$ ,der y-Achsenabschnitt...

Die Namen der diversen Größen können doch willkürlich gewählt werden. Mit deinen Bezeichnungen geht mein Vorschlag so:

In die allgemeine Gerade

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

wird deine Abbildung eingesetzt. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} -x-7=m(-y+3)+b \end{eqnarray*}$

Das ergibt umgestellt:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{m}x+\frac{7+3m+b}{m} \end{eqnarray*}$

Wenn das dieselbe Gerade sein soll wie

$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$

muss gelten:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{m}\quad und \quad b=\frac{7+3m+b}{m} \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} m=\frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} m=\pm1 \end{eqnarray*}$

m = 1 führt zu 10 = 0 und scheidet deshalb aus.
m = -1 ergibt

$\begin{eqnarray*} b=-2 \end{eqnarray*}$

Damit sit die Fixgerade

$\begin{eqnarray*} y=-x-2 \end{eqnarray*}$

28.03.2009, 15:45

Sanne

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O.k. schon mal vielen dank bis dahin Huggy, glaube ich fange so langsam an da durchzusteigen....

Allerdings kann ich deine letzten Schritte nicht ganz nachvollziehen...

Bis dahin, das $\begin{eqnarray*} m=\pm 1 \end{eqnarray*}$ sein soll habe ich den Weg verstanden..

Setzt du die $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ in die Formel für b ein?
Weil da versteh ich auch wie du auf 10=0 kommst allerdings nicht so recht wie du auf b=-2 kommst. Hast du dich da evtl. verrechnet? Ich erhalte da -4...

LG Sanne....

28.03.2009, 16:09

Huggy

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Zitat:

Original von Sanne
Setzt du die $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ in die Formel für b ein?

Ja!
Wenn man m = 1 in

$\begin{eqnarray*} b=\frac{7+3m+b}{m} \end{eqnarray*}$

einsetzt, erhält man:

$\begin{eqnarray*} b=\frac{7+3\cdot 1+b}{1}=10+b \end{eqnarray*}$

und das ergibt nach Subtraktion von b

$\begin{eqnarray*} 0=10 \end{eqnarray*}$

was wenig vertrauenerweckend aussieht. Big Laugh

Setzt man m = -1 ein, bekommt man:

$\begin{eqnarray*} b=\frac{7+3\cdot- 1+b}{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -b=4+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2b=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-2 \end{eqnarray*}$

31.03.2009, 12:01

Sanne

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alles klar Huggy.... Freude

vielen lieben Dank!!!

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