Beweis des Euklid

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Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des Euklid
Hallo,
Gestern hatten wir eine Hausaufgabe auf,die ich leider garnicht verstehe unglücklich

Also :Beweise das Wurzel von 2 = p :q (als gekürzter Bruch,und p und q sind teilerfremd)
Dabei sollten wir das mit Euklid beweisen...Die Lösung war so:

2= p:q
=> 2q²=p²
=> d.h. p² ist grade,
=> das wiederum heißt das auch p grade ist also setze p=2r

so weiter mach ich am besten garnicht weil ich schon hier nicht verstanden habe wieso man weiß das p und p² grade sind??
Und warum kann man dann bei p einfach z.b. 2r einsetzten? verwirrt

Bitte helft mir
mfg Brina
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des Euklid
Zitat:
Original von Girly429
=> 2q²=p²
=> d.h. p² ist grade,

Daß p² gerade ist, folgt aus der davorstehenden Gleichung. p² ist das Doppelte einer natürlichen Zahl. Also ist p² gerade. Augenzwinkern
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gerade ist, dann hat es in seiner Primfaktorzerlegung mindestens eine 2. Jetzt ist es aber so, dass Quadratzahlen jeden Primfaktor doppelt haben.

Beispiel: , dann ist .

Wenn also eine 2 als Primfaktor hat, hat es auch eine zweite. Wie man oben sehen kann, kann man von zu kommen, indem man die Anzahl der Primfaktoren von jedem Typ halbiert. Wenn mindestens zwei mal eine 2 hat, hat dann mindestens eine und ist somit gerade.
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

achso...das heißt also das p² immer grade ist?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall ja, weil für p² diese Gleichung gilt: p²=2q²

Wenn du dir vorstellst für q jede natüliche Zahl einzusetzen und diese ja dann quadriert wird und dann noch mit 2 multipliziert wird, dann wirst du immer eine gerade (also eine ohne Rest durch 2 teilbare) Zahl erhalten.

Gruß Björn
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn gerade ist, ist gerade, und wenn gerade ist, ist gerade. Oder kurz:

 
 
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

achso hängt das dann also von der Zahl ab also wenn ich z.b.
5p² = q²
habe ist p² ungrade? und p somit also auch ungrade?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Dann ist q² durch 5 teilbar. Nicht mehr und nicht weniger.
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

wenn die aufgabe jetzt so ist:

7 = p:q
=> 7p²= q²
=> p² ist ungrade
=> somit ist auch p ungrade setzte für p: 7r
oder p²: 49r²
=> 49r² = q²

dann komm ich bei dem einsetzen nicht weiter....
was folgert sich denn jetzt daraus?Oder was folgert sich da nicht raus unglücklich
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Gleichung sagt erstens nicht das aus, was du meinst, und zweitens wirst du sie nie haben, denn



Mit anderen Worten: ist rational, und wir wissen, dass das falsch ist.

Aus der Gleichung



können wir auch nicht schließen, dass p^2 ungerade ist, denn es ist z.B.

.

Du solltest dir meine Begründung oben noch einmal zu Gemüte führen.
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

hääh??? jetzt raff ich ehrllich garnichts mehr....waran erkenne ich denn ob ne zahl UNGERADE ist???
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Eine ganze Zahl z ist ungerade, wenn sie als mit ganzzahligem dargestellt werden kann.

edit: Was ich dir mit dem obigen Posting auch sagen wollte, ist dass du dir klar sein musst, dass du einen Widerspruchsbeweis führst. Die Aussagen, mit denen du handhabst, sind falsch, und das musst du zeigen, indem du sie zu zwei widersprüchlichen Ergebnissen führst.
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

das kann doch jede zahl,oder nicht? dann währen ja alle zahlen die ich einsetze ungerade und es gäbe keine geraden zahlen
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gib doch mal das an, damit .
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

geht nicht...oder?
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Eben, 4 ist ja auch nicht ungerade. Es gibt eben doch gerade Zahlen, wenn man diese Definition verwendet.
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

ne sorry versteh ich nicht unglücklich

wenn man nach der formel 2k+1 geht dann sind doch alle zahlen ungrade!Da kann nichts grades bei rauskommen,das kann doch also garnicht sein,dann wären alle p's und sonstwas ja ungerade!
warum ist p bei der gleichung 2p²=p² dann grade?
das passt doch irgentwie nicht zusammen...
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht liest du dir auch mal andere Threads zum selben Thema durch:

Keine rationale Lösung für x²=3
irrationale n-te wurzel beweis

Man kann das ganze als indirekten Beweis auffassen: Angenommen, ist ungerade. Dann ist aber auch ungerade, womit in der Gleichung links was ungerades und rechts was gerades steht - Widerspruch!!!

Also war die Annahme, dass ungerade ist, falsch - somit kann nur gerade sein. Ist das wirklich so schwer?
Girly429 Auf diesen Beitrag antworten »

ja ne klar aber wenn das jetzt mit 3p²=q² gemacht wird?
ist 3p² dann ungrade?
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast hier offensichtlich einiges durcheinander geschmissen. Widmen wir uns doch erstmal dem ursprünglichen Problem.

Ihr wolltet zeigen das irrational ist. Das heisst es gibt keine 2 Zahlen p und q so, dass man schreiben kann, wobei p und q ganze Zahlen sind. In unserem Fall würden es auch die natürlichen Zahlen tuen.

Die Beweisidee ist: Nehmen wir mal an es ginge doch und es gebe zwei teilerfremde Zahlen p und q so dass der Quotient ist.

p und q teilerfremd heisst in diesem Fall vor allem das nicht beide Gerade sind sonst könnte man nämlich beide einfach durch zwei Teilen.
wie du ja anfangs selbst geschrieben hast ich nehme an die Umformung ist klar.

ist das doppelte einer natürlichen Zahl also unbedingt gerade. Wenn gerade ist muss auch p gerade sein. Das machst du dir am besten mal an ein paar Beispielen klar. Einfach mal gucken was ist

Wenn dann p gerade ist kann man es natürlich durch 2 teilen also gibts eine Zahl r so dass p=2r ist (r ist einfach die Hälfte von p)

Setzen wir das jetzt in unsere Gleichung (*) ein erhalten wir:


Jetzt kommt die gleiche Erklräung wie oben nur ist jetzt plötzlich gerade weils ja wieder das doppelte von einer anderen Zahl ist und dann muss auch q gerade sein.

Das geht aber nicht weil dann p und q beide durch 2 teilbar wären und das hatten wir ja anfangs ausgeschlossen.

Und jetzt das schwierigste: Es gibt keine 2 teilerfremden Zahlen p und q so dass der Quotient Wurzel aus 2 ist also kann man Wurzel aus 2 eben nicht so schreiben und deswegen ist die Wurzel aus 2 nicht rational.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, bei 3 statt 2 hilft gerade/ungerade überhaupt nicht, sondern Teilbarkeit bzw. eben Nichtteilbarkeit durch 3 :

Zitat:
Angenommen, ist nicht durch 3 teilbar. Dann ist aber auch nicht durch 3 teilbar, womit in der Gleichung links was nicht durch 3 teilbares, aber rechts was durch 3 teilbares steht - Widerspruch!!!

Also war die Annahme, dass nicht durch 3 teilbar ist, falsch - somit kann nur durch 3 teilbar sein.

Also fast dieselbe Argumentation.
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