Wie erstellt man eine umkehrfunktion von ln?

27.03.2009, 21:19	ad19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie erstellt man eine umkehrfunktion von ln? Wenn ich die Funktion $\begin{eqnarray} y(x) = ln(x^2 + 2x + 1) \end{eqnarray}$ habe wie erstelle ich eine Umkehrfunktion? Ich habs versucht aber bin mir nicht sicher: $\begin{eqnarray} e^y=e^{ln(x^2 + 2x + 1)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y=x^2+2x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^y=(x+1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{e^y} =x+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{e^y}-1 =x \end{eqnarray}$ Kann das richtig sein?
27.03.2009, 21:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie erstellt man eine umkehrfunktion von ln? Würd sagen ist richtig, allerdings bin ich mir nicht sicher ob man bei der Wurzel noch eine Fallunterscheidung machen müsste, das würde aber heißen es gäbe 2 Umkehrfunktionen. Vlt eine für positive, eins für negative. Bin gerade bisschen durcheinander, sry
28.03.2009, 00:18	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Da nicht einmal die Definitionsmenge angegeben ist, kann man in diesem Fall nicht sagen, ob die Funktion überhaupt umkehrbar ist. Auch die Angabe der Zielmenge fehlt – wobei das natürlich heißen kann, dass die Wertemenge zugleich die Zielmenge ist. Also die Funktion $\begin{eqnarray} f\colon\, \mathbb{R} \setminus \{ - 1 \} \to \mathbb{R} \qquad x \mapsto \ln\left(x^2 + 2x + 1 \right) \end{eqnarray}$ ist nicht injektiv. Nur die Einschränkungen $\begin{eqnarray} f_1 := f\mathop{\|}\mathord{]{-1}, {+ \infty}[} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_2 := f\mathop{\|}\mathord{]{-\infty}, {-1}[} \end{eqnarray}$ sind es. Wenn man die erste nimmt, dann erhält man beim Auflösen der Vorschrift: $\begin{eqnarray} y = \ln\left(x^2 + 2x + 1 \right) \ \Longleftrightarrow\ (x + 1)^2 = \mathrm{e}^y \ \Longleftrightarrow\ \|x + 1\| = \sqrt{\mathrm{e}^y} \ \underbrace{\Longleftrightarrow\ x + 1 = \sqrt{\mathrm{e}^y }}_{\textrm{da } x + 1 > 0} \end{eqnarray}$ Also genau Dein Ergebnis. Beachte aber: Dieses Ergebnis gilt nur unter den obigen Bedingungen. Wenn Dir das nicht bewusst war, dann war es im Prinzip pures Glück, dass Du auf das richtige Ergebnis gekommen bist. Denn Du hast bei der dritten zur vierten Zeile die Fallunterscheidung vergessen (wie schon von IfindU gesagt): Die Gleichung x² = a hat zwei Lösungen, und zwar $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{a} \end{eqnarray}$ Oder aus einer anderen Perspektive: Es gilt nicht $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2} = x \end{eqnarray}$ Richtig ist vielmehr $\begin{eqnarray} \sqrt{x^2} = \|x\| \end{eqnarray}$ Abhängig davon, für welchen „injektiven Ast“ von f man sich entscheidet, erhält man an dieser Stelle unterschiedliche Ergebnisse: $\begin{eqnarray} {f_1}^{-1}\colon\, \mathbb{R} \to \mathord{]{-1}; {+\infty}[} \qquad x \mapsto \sqrt{\mathrm{e}^{x}} - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} {f_2}^{-1}\colon\, \mathbb{R} \to \mathord{]{-\infty}; {-1}[} \qquad x \mapsto -\sqrt{\mathrm{e}^{x}} - 1 \end{eqnarray}$
28.03.2009, 15:14	ad19	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in der zweiten Zeile $\begin{eqnarray} e^y=x^2+2x+1 \end{eqnarray}$ hab ich erst X mit der pq-Formel ausgereichnet und -1 als einzigen Wert herausbekomenn $\begin{eqnarray} -1+sqrt(1^2-1) \end{eqnarray}$ Damit wusste ich nicht so recht weiter, dann hab ich die bonische Formel entdeckt
28.03.2009, 15:32	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast fälschlicherweise die Gleichung $\begin{eqnarray} x^2 + 2x + 1 = 0 \end{eqnarray}$ gelöst anstelle von $\begin{eqnarray} x^2 + 2x + 1 = \mathrm{e}^y \end{eqnarray}$
28.03.2009, 16:21	ad19	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann hatte ich echt nur Glück... Würde man denn nach dieser Methodik auch die Umkehrfunktion von polynomen und trigonometrischen funktionen erhalten? Bsp. $\begin{eqnarray} y(x)=ln( sincos \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} y(x)=ln(2x^5-4x^2+3 \end{eqnarray*}$ )
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28.03.2009, 16:50	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier wieder: Was sind überhaupt die Definitionsmengen? Beide Funktionen sind nicht auf ganz R definiert und auch nicht in der gesamten Definitionsmenge injektiv. Du solltest Dir wirklich angewöhnen, Funktionen in der der Form $\begin{eqnarray} f\colon\, A \to B \quad x \mapsto \ldots \end{eqnarray}$ anzugeben. Oder wenn die Zielmenge keine Rolle spielt bzw. mit der Wertemenge identisch sein soll: $\begin{eqnarray} f\colon\, x \mapsto \ldots \quad D_f = A \end{eqnarray}$ Einfach nur die Funktionsvorschrift hinzuschreiben ist höchstens dann akzeptabel, wenn die Definitionsmenge irgendwie naheliegt, also z. B: ganz R ist o. ä. Aber bei komplexeren Funktionen wird das keiner akzeptieren, zumal wenn es um die Untersuchung der Umkehrbarkeit geht! Zu Deinen Beispielfunktionen: Bei der zweiten kann man die Umkehrfunktion definitiv nicht über eine Zuordnungsvorschrift angeben. Einfach weil sich die Gleichung $\begin{eqnarray} \mathrm{e}^x = 2y^5 - 4y^2 + 3 \end{eqnarray}$ nicht „algebraisch“ nach y auflösen lässt. Die erste kann man m. E. schon angeben, aber das Auflösen wird sicherlich sehr kompliziert – der Ablauf ist auf jeden Fall ein ganz anderer als der bei f(x) = ln(x² + 2x + 1) Df = R+, man muss ja eine trigonometrische und keine quadratische Gleichung lösen! Übrigens hast Du bei cos und sin das (x) vergessen.

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