3 Fragen zu Betragsungleichungen |
28.03.2009, 10:57 | JennyLiebtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
3 Fragen zu Betragsungleichungen Ich hab einige Fragen zum Thema Betragsungleichungen und hoffe, ihr könnt sie beantworten. |x-1||x+2| Wenn ich den Funktions Plotter benutz, hab ich ja 4 verschiedene Bilder, da 2*2 Fallunterschiedungen. 1.Frage: Kann man es irgendwie zu 1 Bild machen? |x-1| 1.Fall: Für |x-1|0, d.h.: x1 ist |x-1|= x-1 2.Fall Für |x-1|<0, d.h.: x<1 ist |x-1|=-x+1 |x+2| 1.Fall: Für |x+2| 0, d.h.: x-2 ist |x+2|=x+2 2.Fall Für |x+2|<0, d.h.: x<-2 ist |x+2|=-x-2 2.Frage: wie wär's jetzt am elegansten weiterzuschreiben? Würdet ihr es so durchgehen lassen? 1.Fall 1.Fall: Bedingungen: Prinzipiell unerfüllbar x1 x-2 Rechnung: x-1x+2 03 L1={} Denn 0 kann niemals größer/gleich 3 sein. 1.Fall 2.Fall: Bedingungen: prinzipiell erfüllbar x1 x<-2 Rechnung: x-1-x-2 2x-1 x-0,5 L2={} Denn der Wert erfüllt nicht die Bedingungen. 2.Fall 1.Fall: Bedingungen: prinzipiell erfüllbar x<1 x-2 Rechnung: -x+1x+2 -2x1 x-0,5 L3=(-unendlich; -0,5] 2.Fall 2.Fall: Bedingungen:prinzipiell erfüllbar x<1 x<-2 Rechnung: -x+1-x-2 0-1 L4={} Denn 0 ist niemals größer/gleich -1 3.Frage: Kann man sagen, dass es theoretisch 4 L's gibt? D.h.: Dann würde man statt L= L1L2 das schreiben: L= L1L2L3L4=(-unendlich;-05] oder? Danke schon mal im Voraus |
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28.03.2009, 16:26 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
RE: 3 Fragen zu Betragsungleichungen Hallo, Dein Ansatz ist im Prinzip richtig, aber Du schreibst die Rechnungen sehr verwirrend auf. Z. B. benutzt Du das Durchschnittssymbol anscheinend als logisches „und“. Dann schreibst Du fälschlicherweise, der Fall trete bei keinem rellen x ein („Bedingung prinzipiell unerfüllbar“); den tatsächlich unerfüllbaren Fall deklarierst Du hingegen als „prinzipiell erfüllbar“. Tut mir leid, aber zumindest ich blicke da nicht mehr durch. Mein Vorschlag wäre, dass Du von noch einmal neu anfängst und evtl. alles systematischer aufschreibst. Deine Lösung ist aber sehr wohl richtig! Ich würde so vorgehen: Ermittle zu beiden Beträgen die „Schwellenzahlen“, bei denen sich entscheidet, welcher Fall eintritt. Bei |x - 1| ist das, wie Du schon gesagt hast, die Zahl 1. Bei |x + 2| ist es -2. Stelle Dir diese Zahlen auf der Zahlengeraden vor: [attach]10190[/attach] Die drei Bereiche zwischen den Schwellenzahlen bilden die drei Fälle: (Ob man die Schwellenzahlen selbst nun dem „Plus-“ oder dem „Minusfall“ zuordnet, ist natürlich ganz egal. Ich würde sie entsprechend der üblichen Betragsdefinition zum „Plusfall“ zählen.) Man unterteilt also die Grundmenge R in genau diese drei Bereiche und löst dann die entsprechend vereinfachte Ungleichung: a): Dann gilt Die Lösungsmenge ist b): Es gilt Die Lösungsmenge ist c): Man erhält Die Lösungsmenge ist Dann betrachtet man als Grundmenge wieder ganz R. Man hat aus drei Abschnitten von R Lösungen zusammen getragen. Alle Lösungen erhält man, wenn man die drei Lösungsmengen vereinigt: Zu der Plotter-Frage:
Den Absolutbetrag von x musst Du im Plotter als „abs(x)“ eingeben, und verschiedene Funktionen trennt man durch Kommata voneinander. Du musst also schreiben: abs(x - 1), abs(x + 2) Und dann eben sehen, wann der linke Graph über oder auf dem rechten verläuft. |
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30.03.2009, 19:59 | JennyLiebtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Hi Jacques! Danke für deinen ausführlichen Beitrag! Ich hab den Graph gezeichnet, und seh jetzt tatsächlich, dass |x-1| im Intervall zwischen (-unendlich;-0,5] größer/gleich |x+2| ist. Die Legende sieht aber komisch aus, liegt da ein Fehler vor? Ich hab in den Plotter eingegeben: [-5:5,-5:5]abs(x - 1), abs(x + 2) Zur Rechnung: Du hast natürlich Recht, was die beiden Fälle angeht, umgekehrt wird ein Schuh draus. |x-1||x+2| |x-1| 1.Fall: Für |x-1|0, d.h.: x1 ist |x-1|= x-1 2.Fall Für |x-1|<0, d.h.: x<1 ist |x-1|=-x+1 |x+2| 1.Fall: Für |x+2| 0, d.h.: x-2 ist |x+2|=x+2 2.Fall Für |x+2|<0, d.h.: x<-2 ist |x+2|=-x-2 1.Fall und 1.Fall: Bedingungen: Prinzipiell erfüllbar x1 x-2 Rechnung: x-1x+2 03 L1={} Denn 0 kann niemals größer/gleich 3 sein. 1.Fall und 2.Fall: Bedingungen: prinzipiell unerfüllbar x1 x<-2 Rechnung: x-1-x-2 2x-1 x-0,5 L2={} 2.Fall und 1.Fall: Bedingungen: prinzipiell erfüllbar x<1 x-2 Rechnung: -x+1x+2 -2x1 x-0,5 L3=(-unendlich; -0,5] 2.Fall und 2.Fall: Bedingungen:prinzipiell erfüllbar x<1 x<-2 Rechnung: -x+1-x-2 0-1 L4={} Denn 0 ist niemals größer/gleich -1 L1={} L2={] L3=(-unendlich;-0,5] L4={} L= L1L2L3L4=(-unendlich;-0,5] Würdest du das so durchgehen lassen? Deine Rechnung finde ich sehr interessant, muss aber zugeben, dass ich es selbst nicht hinkriegen würde. |
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30.03.2009, 20:56 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Ja, die Legende sieht irgendwie immer so aus -- keine Ahnung, woran das liegt.
Das Zeichen für den Mengendurchschnitt ist hier, wie schon gesagt, definitiv fehl am Platz. Passend wäre das logische UND, das mit man dem Befehl \wedge schreibt:
Wofür brauchst Du die Rechnung, wenn der Fall sowieso niemals eintritt? Für kein einziges x gilt Also brauchst Du auch nicht die rechnerischen Lösungen für diese Ungleichung zu ermitteln.
Nein, das ist nicht richtig. Bei diesem Fall betrachtest Du doch nur diejenigen Elemente der Grundmenge, die mindestens so groß wie -2 und kleiner als 1 sind. Als Lösungen kommen also von vornherein nur diese Zahlen in Frage. Die Ungleichung hat dann entsprechend die Lösungsmenge Denn Zahlen wie z. B. -3 umfasst der Fall überhaupt nicht (sie fallen unter den nächsten).
Da musst Du Dich verrechnet haben. Es gilt Diese Ungleichung ist immer wahr, man erhält also die Lösungsmenge Und dann entsprechend:
Richtig wäre: Also
Du solltest Dir meiner Meinung nach schon ein anderes „Schreibweisen-System“ überlegen, da das jetzige schwer zu verstehen ist. Man weiß z. T. erstmal gar nicht, was Du meinst, und muss sich ziemlich mühsam in alles einlesen. Als Beispiel: Du bezeichnest bei beiden Beträgen die Fälle mit „Fall 1“ und „Fall 2“. Besser wären unterschiedliche Bezeichnungen: „Fall 1a“, „Fall 1b“, „Fall 2a“, „Fall 2b“ oder so. Auch was die Fälle überhaupt bedeuten, wird nicht klar -- und bei „zweiter Fall und erster Fall“ hast Du Dich ja dann auch selbst vertan. Du solltest vielleicht schon die obige Idee übernehmen: Man unterteilt die Grundmenge in einzelne Abschnitte, bei denen die Betragsungleichung in eine normale Ungleichung übergeht. Bei Deinem System machst Du dasselbe, nur bei der Schreibweise wird das eben nicht so klar: Fall 1a: Für alle wird der linke Betrag |x - 1| zu x - 1 Fall 1b: Für alle wird der linke Betrag |x - 1| zu 1 - x Fall 2a: Für alle wird der rechte Betrag |x + 2| zu x + 2 Fall 2b: Für alle wird der rechte Betrag |x + 2| zu -x - 2 Da jeweils nur einer der beiden Fälle eintreten kann, ergeben sich insgesamt vier Kombinationen -- und entsprechend schränkt man die Grundmenge jeweils ein. |
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06.04.2009, 19:14 | JennyLiebtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Hi Jaques, nochmal Vielen Dank für deine Geduld und Mühe. Ich hab alles noch einmal analysiert, was du mir geschrieben und es auch in die Tat umgesetzt. Eine Kleinigkeit hab ich bei unserer Aufgabe aber nicht verstanden, und zwar, beim Fall 1b und 2b, die Rechnung: -x+1-x-2 <=> 1-2 D.h: wir vernachlässigen die beiden -x einfach, und alles ist klar! Ich hab's aber so gemacht, dass alle x auf die linke Seite, und die Zahlen auf die rechte, deshalb kam da so was raus wie: 0-1. O, mir fällt auf, dass es dann 0 -3 sein müsste. Ja, zugegeben an dem Gesamtergebnis ändert sich nichts, aber irgendwie stört das schon. |
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06.04.2009, 19:58 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Kleiner Tipp: |
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06.04.2009, 22:00 | JennyLiebtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Hmm, ich kenn das nur so ähnlich von der Vektorrechnung: ||=a=Wurzel (*) Aber irgendwie ist das keine wirkliche Überleitung zu deinem Tipp, oder? |
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06.04.2009, 22:27 | papahuhn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Nein, auf Vektoren wollte ich jetzt nicht hinaus. Mit der angegebenen Äquivalenz ist die Aufgabe ein Zweizeiler. |
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07.04.2009, 22:57 | JennyLiebtMathe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||||||
Ach so! Das macht die Berechnung natürlich leichter. Damit kann man sich dann eine Äquivalenzumformung sparen, die in dem Fall ja auch zu einem falschem Ergebnis führt, richtig? |
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