cos(1/x)+sin(1/x)

28.03.2009, 11:01

Svenja1986

cos(1/x)+sin(1/x)

Hallo

Ich habe diese Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} \cos \left( \frac{1}{x} \right) + \sin \left( \frac{1}{x} \right) \end{eqnarray*}$

Ich soll beweisen, dass diese Funktion nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Irgendwie fehlt mir da der Ansatz. Wollte mir die Funktion plotten, aber habs irgendwie nicht hinbekommen unglücklich

Über die Suche habe ich auch nichts zu dieser Funktion gefunden.

Außerdem soll noch die Frage beantwortet werden, ob die Funktion R-integrierbar in [0;1] ist. verwirrt

Vielen Dank für Hilfe. smile

28.03.2009, 11:17

mYthos

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Zumindest mal, wie die Plots aussehen:

mY+

28.03.2009, 16:48

Mathespezialschüler

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Das ist nur ein Term, eine Funktion wird daraus durch $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x):=\cos\left(\frac{1}{x}\right)+\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray*}$ .

Dabei solltest du noch den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ angeben, den kann ich nicht erraten. Und bevor du über Stetigkeit in Null redest, sollte die Funktion auch in Null definiert werden, sonst kann man diese Frage einfach ignorieren.

28.03.2009, 21:44

Svenja1986

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Sorry

Hier nochmal richtig:

$\begin{eqnarray*} f: [0;1] \ni x \rightarrow \begin{cases}\cos(\frac{1}{x})+\sin(\frac{1}{x}), & x \not= 0\\0, & x=0\end{cases} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

@mYthos: Danke für die Plots Augenzwinkern

28.03.2009, 21:57

Frank Xerox

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Dann versuch mal eine Folge

$\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N},~0<x_n<1 \ \mbox{für alle} \ n\in \mathbb N \ \mbox{und} \ \lim_{n\to\infty}x_n=0 \end{eqnarray*}$

zu finden für die gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x_n)\neq0 \ \mbox{für alle} \ n\in\mathbb N. \end{eqnarray*}$

Wegen der Periodizität von Sinus und Cosinus sollte es nicht schwer fallen eine geeignete Folge zu finden.

29.03.2009, 10:58

Svenja1986

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Da fällt mir jetzt spontan diese Folge ein:

$\begin{eqnarray*} x_n= \frac{1}{n \pi} \end{eqnarray*}$ .

Habe mir die Funktion nun nochmal genauer angeschaut und bin zum Entschluss gekommen, dass sie [0;1] nicht R-integrierbar ist, da sie in diesem Intervall noch mind. 1 Unstetigkeitsstelle hat (zwischen 0,1 und 0,2).
Liege ich damit richtig?

29.03.2009, 11:07

Airblader

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Für x ungleich Null muss f stetig sein, da es eine Verkettung stetiger Funktionen ist.

air

29.03.2009, 12:21

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Svenja1986
Habe mir die Funktion nun nochmal genauer angeschaut und bin zum Entschluss gekommen, dass sie [0;1] nicht R-integrierbar ist, da sie in diesem Intervall noch mind. 1 Unstetigkeitsstelle hat (zwischen 0,1 und 0,2).

Warum sollte sie da noch eine Unstetigkeitsstelle haben? Da fänd ich eine genaue Begründung sehr interessant.

Und selbst wenn es da noch eine Unstetigkeitsstelle gäbe, wäre deine Schlussfolgerung trotzdem völlig falsch. Eine beschränkte Funktion (wie hier) mit genau zwei Unstetigkeitsstellen ist immer R-integrierbar.

01.04.2009, 19:03

Svenja1986

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Und selbst wenn es da noch eine Unstetigkeitsstelle gäbe, wäre deine Schlussfolgerung trotzdem völlig falsch. Eine beschränkte Funktion (wie hier) mit genau zwei Unstetigkeitsstellen ist immer R-integrierbar.

Ja, hast recht Big Laugh

War irgendwie falsch gedacht von mir.

Danke.

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