Wahrscheinlichkeitsrechnung: Überprüfung der Lösungen und Ansatz

28.03.2009, 18:03

Dalice66

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Wahrscheinlichkeitsrechnung: Überprüfung der Lösungen und Ansatz

Hallo Leute,
ich habe zwei Sachen. 1. Könnt ihr mal meine Lösungen von Aufgabe 2) I) auf Richtigkeit kontrollieren? 2. Bei der Aufgabe 2) II) habe ich absolut keinen Ansatz. Ich weiß nicht, was die Lehrerin von mir will. Könnt ihr mir da mal einen Tipp geben? Hier die Aufgabe:

Aufgabe 2:

I. Eine Fabrik produziert Fliesen, von denen durchschnittlich 4% fehlerhaft sind.

1) Der laufenden Produktion werden zehn Fliesen entnommen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon höchstens eine defekt ist?

P=0,9418

2) Von 100 Fliesen, von denen genau 4 defekt sind, werden zehn kontrolliert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind hiervon mindestens zwei nicht in
Ordnung?

P=0,0063

3) Die Fliesen werden vor dem Verpacken kontrolliert. Dabei werden fehlerhafte
Fliesen zu 95% entdeckt und aussortiert. Allerdings werden auch 2% der
Fliesen, die in Ordnung sind, fälschlicherweise aussortiert.
Zeichnen Sie bitte einen Wahrscheinlichkeitsbaum.

[attach]10191[/attach]

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kontrolle die richtige
Entscheidung fällt?

P=0,931

Eine Fliese wurde aussortiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
Fliese tatsächlich fehlerhaft ist?

P=0,9989

II. Der “PC-Doktor” repariert Computer. Er geht davon aus, dass entweder das BIOS
oder der Arbeitsspeicher oder die Festplatte kaputt ist.

Der Fehler steckt mit der Wahrscheinlichkeit p in der Festplatte; BIOS und
Arbeitsspeicher sind gleich anfällig.

Um seine Arbeit abwechslungsreich zu gestalten, hat er drei verschiedene
Methoden entwickelt:

Bei der ersten Methode prüft er zunächst den Arbeitsspeicher und dann, wenn
dieser in Ordnung ist, das BIOS.

Bei der zweiten Methode fängt er mit der Festplatte an und macht dann, falls dies
erforderlich ist, mit dem Arbeitsspeicher weiter.

Bei der dritten Methode beginnt er mit dem BIOS und prüft dann, wenn dies nötig
ist, die Festplatte.

Die Prüfung der Festplatte kostet 7,50 €, die von BIOS und Arbeitsspeicher
jeweils 5 €.

Berechnen Sie bitte für jede Methode die zu erwartenden Kosten in Abhängigkeit
von p.

Stellen Sie die Kosten für p 0 [0;1] in einem gemeinsamen Koordinatensystem
dar.

Für welche Werte von p verursachen die erste und die zweite Methode die
gleichen Kosten?

Welche der drei Methoden ist langfristig am kostengünstigsten?

29.03.2009, 15:22

BarneyG.

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Also, erst mal zur Aufgabe mit den Fliesen:

Zitat:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kontrolle die richtige Entscheidung fällt? P=0,931

Das ist wohl ein bisschen zu gering ausgefallen:

P = 0,04*0,95 + 0,96*0,98 = 0,9788

Zitat:

Eine Fliese wurde aussortiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Fliese tatsächlich fehlerhaft ist? P=0,9989

Auch das stimmt wohl nicht. Die Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit liefert:

P = 0,04*0,95 / (0,04*0,95 + 0,96*0,02) = 0,6643

Dein Entscheidungsbaum ist wohl nicht richtig. Auf der ersten Stufe hast du defekt / nicht defekt mit den Wahrscheinlichkeiten 0,04 und 0,96.

Auf der zweiten Stufe hast du dann die Wahrscheinlichkeiten defekt + aussortiert mit 0,95 und defekt + nicht aussortiert mit 0,05, sowie nicht defekt + aussortiert mit 0,02 und nicht defekt und nicht aussortiert mit 0,98

29.03.2009, 15:36

Dalice66

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung: Überprüfung der Lösungen und Ansatz
Komisch,
mein Binominalansatz sagt mir Folgendes:

$\begin{eqnarray*} p_{(k=0)}=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *p^{k} *q^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_{(k\leq 1)}=p_{(k=0)}+p_{(k=1)} \end{eqnarray*}$

p=0,04, q=0,96, n=10

Zumindest für die erste Aufgabe...

29.03.2009, 15:58

BarneyG.

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Die von dir genannte Formel ist die Lösung zum Teil 1 der Aufgabe:

Zitat:

1) Der laufenden Produktion werden zehn Fliesen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon höchstens eine defekt ist?

Und das habe ich ja auch nicht bemängelt! Big Laugh

Big Laugh

29.03.2009, 16:33

Dalice66

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Jo,
natürlich hast du recht. Ich sollte die Aufgabe mal genau lesen, somit ist natürlich auch mein Wahrscheinlichkeitsbaum falsch. Er müsste so aussehen. Auf der Grundlage meines alten Baumes habe ich dann die Aufgabe auch gerechnet und somit alles falsch.

Der Baum sieht so aus:

[attach]10196[/attach]

29.03.2009, 16:44

BarneyG.

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Na, also, geht doch!

Jetzt isser bildhübsch dein Wahrscheinlichkeitsbaum! Big Laugh

Big Laugh

Das sollte nun was werden mit deiner Rechnung ...

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29.03.2009, 17:18

Dalice66

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Jo,
ich habe die falschen Aufgaben nochmal gerechnet...Passt.

Zur Teilaufgabe II) habe ich folgenden Wahrscheinlichkeitsbäume :

[attach]10197[/attach]

Außerdem weiß ich, dass das Prüfen des Bios und des Arbeitsspeichers 10 € kostet. Somit ergibt sich bei der Wahrscheinlichkeitsverteilung Folgendes:

Der Typ fängt also nach seiner ersten Methode mit der Arbeitsspeicherüberprüfung an:

$\begin{eqnarray*} P_{F(\neg F)}=\frac{\frac{1-P}{2} *\frac{1-P}{2} +\frac{1-P}{2} *(1-\frac{1-P}{2} )}{1-\frac{1-P}{2}} \end{eqnarray*}$

Um P zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} 10=\frac{\frac{1-P}{2} *\frac{1-P}{2} +\frac{1-P}{2} *(1-\frac{1-P}{2} )}{1-\frac{1-P}{2}} \end{eqnarray*}$

Soweit noch richtig?

29.03.2009, 17:26

BarneyG.

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Nachdem die erste Aufgabe "durchgekaut" ist, gehen wir mal zur zweiten Aufgabe über. Die Aufgabe ist leider ein bissl mühsam:

du musst drei Wahrscheinlichkeitsbäume zeichen, jeweils einen pro Vorgehensweise.

Nehmen wir mal die erste Variante: erst Arbeitspeicher (AS), dann BIOS:

Die erste Ebene ist:

P(AS defekt) = (1-p)/2 <-- das ist so, weil die Summe der Ws = 1 sein muss!
P(AS ok) =... <-- Gegenwahrscheinlichkeit

von der nächsten Ebene brauchst du nur den Zweig

P(BIOS defekt) = (1-p)/2

Die zu erwartenden Kosten K1 sind dann

K1(p) =
5 * (1-p)/2 <-- AS defekt
+ (5+5) * ... * (1-p)/2 <-- AS in Ordnung, BIOS defekt

Die Kosten sind also eine quadratische Funktion der Wahrscheinlichkeit p.

Das machst du dann für die beiden anderen Vorgehensweisen genau so und erhältst zwei weitere (quadratische) Funktionen K2(p) und K3(p).

Der Rest ist dann "business as usual". Oder etwa nicht? Big Laugh

Big Laugh

[edit] Na, da haben wir beide uns ja gerade rechts überholt! geschockt

geschockt

29.03.2009, 17:40

Dalice66

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Jo,
wie es aussieht, werde ich wohl gerade warm... smile

smile

29.03.2009, 20:30

Dalice66

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Also,
der Computerfachmann erhält nun den Computer und prüft das Teil. Er fängt, wie in einer ersten Methode beschrieben, mit dem Arbeitsspeicher an. Ist hier der Fehler, hat der Kunde nur 5€ zu zahlen, ist der Fehler hier nicht, geht es weiter zum Bios. Entweder ist hier der Fehler und er sucht nicht weiter, oder der Fehler ist hier auch nicht, dann muss es die Festplatte sein. Somit ergibt sich Folgendes:

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{1-P}{2} +10*(\frac{1-P}{2})^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{5-5P}{2}+10*(\frac{1-2P+P^2}{4}) |*4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 50-90P+40P^2|:40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=P^2-2,25p+1,25 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_1=1,25 \end{eqnarray*}$

Was mache ich jetzt mit dem Wert? Ich habe ihn in die Formel

$\begin{eqnarray*} 5*\frac{1-P}{2} +10*(\frac{1-P}{2})^2 \end{eqnarray*}$

eingesetzt und komme auf einen lächerlichen Wert von -0,46875

Wo liegt mein Fehler?

Ich werde doch nicht warm... traurig

traurig

30.03.2009, 08:06

BarneyG.

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Moment ... hab mich gerade auch verrechnet ... Big Laugh

Big Laugh

30.03.2009, 08:30

BarneyG.

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Der Fehler passiert ganz am Anfang, beim Aufstellen des Erwartungswerts. Aber selbst wenn du das so gemacht hättest, wie ich es empfohlen hatte, wäre es trotzdem falsch ... Da muss ich mich jetzt leider korrigieren.

Wir haben doch in JEDEM Fall Kosten in Höhe von 5 EUR um den AS zu prüfen!

Wenn der AS jedoch in Ordnung sein sollte, kommen noch einmal 5 EUR hinzu, um das BIOS zu prüfen. Damit erhalten wir für den Erwartungswert der Kosten:

K1(p) = 5 + 5 * P(AS in Ordnung)

P(AS in Ordnung) = 1 - P(AS defekt) = 1 - (1-p)/2 = (1+p)/2

Also K1(p) = 5 + 5 * (1+p)/2

Also, nix mit quadratischer Funktion! Eine einfache lineare Funktion, die zwischen 7,50 (p=0) und 10 EUR (p=1) pendelt. Mea culpa!

Mit diesen Ansatz sollte die Aufgabe jetzt aber flutschen. Sorry für die Konfusion!

Grüße

31.03.2009, 23:33

Dalice66

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Hi,
das erscheint mir alles schön logisch. Ich habe jetzt die anderen Methoden genauso aufgebaut. Sind die Wahrscheinlichkeitsbäume und die Formeln richtig?

[attach]10221[/attach]

Upps, mir ist gerade ein Fehler aufgefallen. Der linke untere Ast der dritten Methode muss lauten:

P

Die Formel somit:

$\begin{eqnarray*} 5+7,50*P \end{eqnarray*}$

01.04.2009, 09:01

BarneyG.

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Zitat:

Ich habe jetzt die anderen Methoden genauso aufgebaut.

Ne, das hast du eben gerade nicht gemacht. Du sitzt immer noch meinem ersten (fehlerhaftem) Hinweis auf!

Also: zum Berechnen des Erwartungswerts der Kosten brauchst du von deinem Wahrscheinlichkeitsbaum nur die ERSTE Stufe! Denn du testest zunächst ein Bauteil. Dabei fallen ohne wenn und aber Kosten an. Dann benötigst du die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Test ein intaktes Bauteil vorfinden wird. Und mit dieser Wahrscheinlichkeit fallen dann die Kosten für den zweiten Test an. Die restlichen Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe sind für diese Aufgabe unerheblich!

Für Methode 1 (AS - BIOS) hatten wir folgende Kostenfunktion schon hergeleitet:

K1(p) = 5,00 + 5,00 * (1+p)/2

Für Methode 2 (FP - AS) erhältst du folgende Funktion:

Es fallen 7,50 für den Test der FP an.
Mit der Wahrscheinlichkeit (1-p) ist der FP in Ordnung.
Mit dieser Wahrscheinlichkeit fallen dann 5,00 für den Test des AS an.

K2(p) = 7,50 + 5,00 * (1 - p)

Für Methode 3 (BIOS - FP) ergibt sich folgendes:

Es fallen 5,00 für den Test des BIOS an.
Mit der Wahrscheinlichkeit 1 - (1-p)/2 = (1+p)/2 ist das BIOS in Ordnung.
Mit dieser Wahrscheinlichkeit fallen dann 7,50 für den Test der FP an:

K3(p) = 5,00 + 7,50 * (1+p)/2

Ich hoffe, ich habe dich nach meinem ersten fehlerhaften Rat jetzt wieder auf die richtige Spur gebracht. Big Laugh

Big Laugh

Der Rest der Aufgabe ist nun nicht mehr schwierig. Z.B. durch Vergleich von K1(p) mit K3(p) solltest du sofort sehen, dass Methode 3 der Methode 1 unterlegen ist!

Viel Erfolg beim Lösen der Aufgabe!

[edit]

Denk bei deinem Wahrscheinlichkeitsbaum auch dran, dass p die FEHLERWahrscheinlichkeit der FP angibt ...

Zitat:

Der Fehler steckt mit der Wahrscheinlichkeit p in der Festplatte;

1-p ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die FP in Ordnung ist.

(1-p)/2 ist die FEHLERWahrscheinlichkeit des AS bzw. des BIOS

1 - (1-p)/2 = (1+p)/2 ist also die Wahrscheinlichkeit, dass AS bzw. BIOS in Ordnung sind.

01.04.2009, 10:43

Dalice66

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Ok,
kannst du mir nochmal den Rechenweg für

$\begin{eqnarray*} \frac{1+P}{2} \end{eqnarray*}$

einzeln vorrechnen. Ich habe zur Zeit eine Sperre und kann dem "+" bei

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{1-P}{2} =\frac{1+P}{2} \end{eqnarray*}$

nicht folgen. Alles Andere ist nun klar.

Die Wahrscheinlichkeit, wann die Methode 1 und 2 gleich sind, erhalte ich durch Gleichsetzen der beiden Methoden. Somit ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Bei der letzten Frage, kann ich anhand der Steigungen der einzelnen Methoden erkennen, dass die Methode 3 langfristig teurer ist, als die Methode 1, außerdem zahlt der Kunde einen höheren Grundpreis. Bei der Gegenüberstellung von Methode 1 und 2 würde ich die Steigungen der einzelnen Methoden vergleichen und das dann ins Verhältnis zu den Einstiegspreise setzen.

01.04.2009, 12:34

BarneyG.

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So stimmt die Kiste! Da bin ich aber erleichtert, dass wir uns jetzt endlich verstanden haben! Big Laugh

Big Laugh

Die von dir angefragte Rechnung ist kinderleicht, wie du gleich sehen wirst:

1 - (1-p) / 2 = ...

Wir bilden den Hauptnenner.

= (2 - 1 + p) / 2

Wir haben dabei beachtet, dass ein Minus vor dem Bruchstrich ALLE Vorzeichen umkehrt. Und nun fassen wir zusammen:

= (1 + p) / 2

Damit ist die Nachhilfestrunde in der Bruchrechnung beendet! Big Laugh

Big Laugh

Noch ein Hinweis: Du hast richtig erkannt, dass die Methode 1 immer günstiger ist als Methode 3.

Beim Vergleich von Methode 1 mit Methode 2 ist das nicht so.

p = 0 - 2/3 --> Methode 1 ist günstiger
p = 2/3 --> beide Methoden sind gleich gut
p = 2/3 - 1 --> Methode 2 ist günstiger

Welche Methode nun langfristig die beste ist, hängt also davon ab, welchen Wert wir für p zugrunde legen müssen.

Alles klar? Big Laugh

Big Laugh

01.04.2009, 12:56

Dalice66

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Jo,
also ist es dann so, dass ich immer eine Zahl dem Nenner entsprechend "vorwegschalten" muss?

Der Rest ist dann wieder klar.

smile

smile

01.04.2009, 15:11

BarneyG.

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Na, das klingt doch so, als wäre die Aufgabe gelöst und es bliebe nur noch die Frage wie man ganze Zahlen und Brüche subtrahiert. Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

also ist es dann so, dass ich immer eine Zahl dem Nenner entsprechend "vorwegschalten" muss?

Wie addierst du denn 1 + 1/2 ?

1 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = (2+1) / 2 = 3/2

Sind wir uns soweit einig?

Jetzt subtrahieren wir mal zur Abwechslung:

1 - n/2 = 2/2 - n/2 = (2-n) / 2

Auch noch in Ordnung?

Und nun kommen wir zur finalen Aufgabe

1 - (1-p)/2 = 2/2 - (1-p)/2 = (2 - (1-p)) / 2 = (2 -1 +p) / 2 = (1 + p) / 2

Uff! Also ausführlicher kann (und will) ich das jetzt nicht mehr darstellen!

Oder hast du dem armen BarneyG. hier einen hundsgemeinen April Scherz spielen wollen? Big Laugh

Big Laugh

Der wäre dir dann aber gelungen! Hammer

Hammer

Grüße

01.04.2009, 15:27

Dalice66

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Armer BarneyG,
wie du schon gemerkt hast, stehe ich manchmal auf der Leitung und brauche alles haarklein erklärt. Nun ist aber alles Bestens...

Wink

Wink

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