Kontraktion, Fixpunkt

28.03.2009, 19:04

Julian01

Kontraktion, Fixpunkt

Hallo zusammen,

Ich soll für die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R_{+} \rightarrow \mathbb R_{+}: x \mapsto e^{x^2-2} \end{eqnarray*}$ das Intervall $\begin{eqnarray*} I = [a,b] \subset \mathbb R_{+} \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass f eine Kontraktion ist und näherungsweise den Fixpunkt berechnen.

Ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x \in I} \vert f' \vert < 1 \end{eqnarray*}$ , so ist f eine Kontraktion.
Nun hab ich die Funktion abgeleitet und komme auf die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} 2*x*e^{x^2-2} < 1 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt weiß ich nicht wie ich das nach x auflösen soll, denn das a im Intervall ist 0 (Fkt. monoton steigend) nur eben auf das b komm ich nicht. Mit meinem Taschenrechner erhalte ich 1,1004..., nur denke ich sollte man das irgendwie aus der Ungleichung bestimmen.
Wenn ich es mit dem Mittelwertsatz versuche komm ich auch auf so eine Ungleichung.
Also den Fixpunkt hätte ich mit dem Fixpunktsatz bestimmt: $\begin{eqnarray*} x_{k+1} = f(x_{k}) \end{eqnarray*}$ .

Danke für eure Hilfe

mfg
Julian

28.03.2009, 19:21

tigerbine

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RE: Kontraktion, Fixpunkt
Es steht ja schon da: Näherungsweise.

[WS] Fixpunktiterationen

Grobe Annäherung:

=> 2 Fixpunkte.

=> Nummer 1 ist anziehend.

Grenze damit das Intervall ein, und zeige dann, dass die Ableitung ||-mäßig kleiner 1 dort ist und was man sonst noch für Banach braucht.

29.03.2009, 14:19

Julian01

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Danke, für deine schnelle Antwort smile

Ich dachte, man sollte das Intervall irgendwie zuerst bestimmen (MWsatz), bevor man näherungsweise die Fixpunkte berechnet.
Wie soll ich das Intervall eingrenzen?
Also den zweiten Fixpunkt kann ich nicht mit dem Fixpunktsatz bestimmen, weil an dieser stelle die Ableitung größer 1 ist (nicht kontrahierend), aber das kann man dann mit der Umkehrfunktion machen, oder? (die sollte diesselben Fixpunkte haben)
Du meinst, ich soll dann die Eigenschaften zeigen, wie abgeschlossenes Intervall, Selbstabbildung und Kontraktion.

julian

29.03.2009, 14:42

tigerbine

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Zitat:

Original von Julian01
Du meinst, ich soll dann die Eigenschaften zeigen, wie abgeschlossenes Intervall, Selbstabbildung und Kontraktion.

julian

Genau.

Für die Argumentation, schaut man sich die Funktion an. Sie ist stetig. Die Skizze hilf natürlich beim argumentieren. Ich runde hier "brutal" ab und auf. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} f(0)=\exp(-2) \approx 0.013 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0.5)= \exp(-1.75) \approx 0.178 \end{eqnarray*}$

Wenn die Funktion nun dort also monoton steigt, haben wir ein passendes Intervall gefunden.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2\cdot \underbrace{x}_{\geq 0}\cdot \underbrace{\exp(x^2-2)}_{>0} \geq 0 \end{eqnarray*}$

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