a*b = a+b

28.03.2009, 22:07

osterkind

a*b = a+b

guten abend allerseits

die aufgabe:
addiert man n ungerade natürliche zahlen, so ist die summe gleich groß wie das produkt dieser zahlen...

also:
n=2, geht nicht
n=3, geht nicht
n=4, geht nicht
n=5, 1*1*1*3*3
...
n=9, 1*1*1*1*1*1*1*3*5

usw, lösbar für n=4m+1

aber wie beweist man, dass es für keine anderen n möglich ist?

28.03.2009, 23:26

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Zitat:

Original von osterkind
die aufgabe:
addiert man n ungerade natürliche zahlen, so ist die summe gleich groß wie das produkt dieser zahlen...

So heißt die Aufgabe bestimmt nicht, denn dann könnte man sofort sagen: Das ist i.a. falsch. Augenzwinkern

Also zunächst mal vom Kopf auf die Füße:

Zitat:

Für welche $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gilt folgende Aussage:
Es gibt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ungerade natürliche zahlen, deren Summe genauso groß wie deren Produkt ist.

Zur Lösung:

Ich würde es indirekt angehen. Angenommen, es gibt ein Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} n\not\equiv 1\mod 4 \end{eqnarray*}$ . Unter all denen wähle man eins mit einer minimalen Anzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von Nicht-Einsen. Im Fall $\begin{eqnarray*} k>2 \end{eqnarray*}$ kann man daraus ein weiteres Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Nicht-Einsen basteln, was aus insgesamt $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ Zahlen mit $\begin{eqnarray*} n'\equiv n\mod 4 \end{eqnarray*}$ besteht - Widerspruch zur Minimalität von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Damit bleibt lediglich noch der Fall $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen... Augenzwinkern

28.03.2009, 23:41

osterkind

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schonmal danke für die antwort

Zitat:

So heißt die Aufgabe bestimmt nicht, denn dann könnte man sofort sagen: Das ist i.a. falsch. Also zunächst mal vom Kopf auf die Füße:

Zur Lösung: Ich würde es indirekt angehen. Angenommen, es gibt ein Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} n\not\equiv 1\mod 4 \end{eqnarray*}$ .
Unter all denen wähle man eins mit einer minimalen Anzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von Nicht-Einsen. Im Fall $\begin{eqnarray*} k>2 \end{eqnarray*}$ kann man daraus ein weiteres Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Nicht-Einsen basteln, was aus insgesamt $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ Zahlen mit $\begin{eqnarray*} n'\equiv n\mod 4 \end{eqnarray*}$ besteht - Widerspruch zur Minimalität von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

kannst du die argumentation noch etwas mehr ausführen? ich habs noch nicht ganz gerafft Ups

Zitat:

Damit bleibt lediglich noch der Fall $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen... Augenzwinkern

...und dann kommt man zu: s.o. 1*1*...*3*(2m+1) ?

28.03.2009, 23:49

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Zitat:

Original von osterkind
kannst du die argumentation noch etwas mehr ausführen? ich habs noch nicht ganz gerafft

Nein - nicht nach nur 15 Minuten überlegen. Das musst du schon etwas setzen lassen. Augenzwinkern

EDIT: Falls dir das besser gefällt - die von mir angegebene Idee kann man äquivalent auch in einem Induktionsbeweis über $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ formulieren, mit Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ .

31.03.2009, 00:00

osterkind

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so ich melde mich nochmal Augenzwinkern

hab drüber nachgedacht...

Zitat:

Unter all denen wähle man eins mit einer minimalen Anzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von Nicht-Einsen. Im Fall $\begin{eqnarray*} k>2 \end{eqnarray*}$ kann man daraus ein weiteres Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Nicht-Einsen basteln

wie geht das und warum?

Zitat:

was aus insgesamt $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ Zahlen mit $\begin{eqnarray*} n'\equiv n\mod 4 \end{eqnarray*}$ besteht

wieso gilt $\begin{eqnarray*} n'\equiv n\mod 4 \end{eqnarray*}$ ?

grüße und danke für die hilfe smile

01.04.2009, 20:18

osterkind

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/push

bekomm ich noch eine erklärung? smile

01.04.2009, 21:03

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Ziemlich vorlauter Ton...

Die eigentliche Arbeit fehlt ja noch:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Im Fall $\begin{eqnarray*} k>2 \end{eqnarray*}$ kann man daraus ein weiteres Lösungstupel mit $\begin{eqnarray*} (k-1) \end{eqnarray*}$ Nicht-Einsen basteln

Wie diese Bastelei im einzelnen gehen kann, da gibt es mehrere Möglichkeiten. Da wollte ich mal etwas Kreativität von dir hören, denn bis jetzt hast du keinen nennenswerten Handschlag getan. Wenn das weiter so geht, hast du es auch nicht verdient, diese Aufgabe zu lösen - klingt hart, aber so sehe ich das. Augenzwinkern

01.04.2009, 21:36

osterkind

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einfach 2 beliebige nicht-einser zusammennehmen (multiplizieren) ?

als bespiel: $\begin{eqnarray*} 3*5*7*1*...*1 \end{eqnarray*}$ , 90 1er , $\begin{eqnarray*} n=93 \end{eqnarray*}$

3*5=15 -> $\begin{eqnarray*} 15*7*1*...*1 \end{eqnarray*}$ , 83 1er , $\begin{eqnarray*} n'=85 \end{eqnarray*}$

dann fehlt nur noch $\begin{eqnarray*} n'\equiv n\mod 4 \end{eqnarray*}$ ...

das produkt bleibt bei diesem vorgang natürlich dasselbe

die anzahl der einser ändert sich um $\begin{eqnarray*} 3*5-(3+5) \end{eqnarray*}$

damit: $\begin{eqnarray*} n'=n- (3*5-(3+5)) -1 \end{eqnarray*}$

bzw.

$\begin{eqnarray*} n'=n- ((2m+1)(2t+1) - (2m+1+2t+1) -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n'=n-4mt-2 \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} -2 \end{eqnarray*}$ passt nicht ganz?!

01.04.2009, 21:46

osterkind

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sry klammer vergessen^^

natürlich so:

$\begin{eqnarray*} n'=n- ((2m+1)(2t+1) - (2m+1+2t+1)) -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n'=n-4mt-4 \end{eqnarray*}$

mod4:

$\begin{eqnarray*} n'=n-0-0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n'=n \end{eqnarray*}$

tschuldige, falls ich den falschen ton gewählt habe Ups

01.04.2009, 21:49

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Zitat:

Original von osterkind
$\begin{eqnarray*} n'=n- ((2m+1)(2t+1) - (2m+1+2t+1) -1 \end{eqnarray*}$

Klammersetzung!!!

$\begin{eqnarray*} n'=n- ((2m+1)(2t+1) - (2m+1+2t+1)) -1 = n-(4mt-1)-1 = n-4mt \end{eqnarray*}$

Schon mal nicht schlecht, aber: Gibt es auch wirklich in jedem Fall so viele Einsen, die du derart reduzieren kannst? Momentan kann ich noch nicht erkennen, dass $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ auch garantiert positiv bleibt. Da fehlt es noch etwas an Begründung.

01.04.2009, 21:50

osterkind

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ach, blödsinn -.-

$\begin{eqnarray*} n'=n-4mt-0 \end{eqnarray*}$

ich kann keine klammern auflösen traurig

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a*b = a+b

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