Kubischer Spline

29.03.2009, 01:29

Steffi85

Kubischer Spline

Hallo, alle zusammen!! Ich habe hier eine Aufgabe, bei der man den kubischen Spline mit natürlicher Randbedingung berechnen soll.

Die Stützpunkte sind:

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ =0 $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ =0
$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =1 $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ =1
$\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =2 $\begin{eqnarray*} y_2 \end{eqnarray*}$ =3
$\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ =3 $\begin{eqnarray*} y_3 \end{eqnarray*}$ =4
$\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ =5 $\begin{eqnarray*} y_4 \end{eqnarray*}$ =5

Folgende Gleichungen entstehen:
$\begin{eqnarray*} S_0(0)=0 \\ d_0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S'_0(1)=S'_1(1) 3*a_0+2*b_0+c_0=3*a_1+2*b_1+c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S'_1(2)=S'_2(2) 12*a_1+4*b_1+c_1=12*a_2+4*b_2+c_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S'_2(3)=S'_3(3) 27*a_2+6*b_2+c_2=27*a_3+6*b_3+c_3\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S''_0(1)=S''_1(1) 6*a_0+2*b_0=6*a_1+2*b_1\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S''_1(2)=S''_2(2) 12*a_1+2*b_1=12*a_2+2*b_2\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S''_2(3)=S''_3(3) 18*a_2+2*b_2=18*a_3+2*b_3\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S''_0(0)=0 b_0=0\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S''_3(6)=0 36*a_3+2*b_3\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_0(1)=1 a_0+c_0=1\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_1(1)=1 a_1+b_1+c_1+d_1=1\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_1(2)=3 8*a_1+4*b_1+2*c_1+d_1=3\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2(2)=3 8*a_2+4*b_2+2*c_2+d_2=3\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_2(3)=4 27*a_2+9*b_2+3*c_2+d_2=4\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_3(3)=4 27*a_3+9*b_3+3*c_3+d_3=4\\ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} S_3(5)=5 125*a_3+25*b_3+5*c_3+d_3=5 \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter. Bitte bitte gibt mir einen Tipp, es ist wichtig, weil ich demnächst eine Klausur habe und ich verstehe die Splines nicht so ganz gut... Danke smile

29.03.2009, 13:59

tigerbine

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RE: Kubischer Spline
[WS] Spline-Interpolation - Theorie

[attach]10194[/attach]

code:

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Es wird ein kubischer Spline berechnet. Spezifizierung folgt.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Knoten:           t_0 ,...,  t_n
         Funktionswerte: f(t_0),...,f(t_n)
 
Knotenpunkte eingeben:   [0,1,2,3,5]
Funktionswerte eingeben: [0,1,3,4,5]
 
n =
     4
------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Deltas dt_0,...,dt_n-1
dt =
     1     1     1     2
 
Berechnung der Deltas df_0,...,df_n-1
df =
     1     2     1     1
 
Berechnung der Brüche df0/dt0,...,df_n-1/dt_n-1
dfdt =
    1.0000    2.0000    1.0000    0.5000
 
 
 
Berechnung der Betas   b_1,...,b_n-1
b =
     1     1     2
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (vorläufig)
a =
     4     4     6
 
Berechnung der Gammas  c_1,...c_n-1
c =
     1     1     1
 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (vorläufig)
r =
    9.0000    9.0000    7.5000
 
------------------------------------------------------------------------------
Bitte wählen: 0 - natürlicher Spline
              1 - vollst. Spline
 
Deine Wahl: 0
------------------------------------------------------------------------------
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (nat. Spline)
a =
    3.5000    4.0000    5.5000
 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (nat. Spline)
r =
    7.5000    9.0000    6.7500
 
Aufstellen der Matrix M
M =
    3.5000    1.0000         0
    1.0000    4.0000    1.0000
         0    2.0000    5.5000
 
Berechnung der Lösung s von Ms=r: s_1,...,s_n-1
    1.6628    1.6802    0.6163
 
Der komplette Vektor s: 
s =
    0.6686    1.6628    1.6802    0.6163    0.4419
 
Matrix der Restriktionen in Newton-Darstellung
RN =
         0    0.6686    0.3314    0.3314
    1.0000    1.6628    0.3372   -0.6570
    3.0000    1.6802   -0.6802    0.2965
    4.0000    0.6163   -0.0581    0.0145
 
Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³
RM =
         0    0.6686   -0.0000    0.3314
    0.9884   -2.2965    2.9651   -0.6570
   -6.6395    9.1453   -2.7558    0.2965
    0.9738    1.5320   -0.2180    0.0145

31.03.2009, 13:50

Dr-gino

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RE: Kubischer Spline
ich möchte Sie um ein Bitte tigerbine , und zwar :
ich habe im Forum über Spline interpolation gelesen,und was ich suche habe ich leider nicht gefunden.mein profblem ist halt. Es wurde schon über Linear und Kreis interpoaltion an der uni was gemacht, und ich soll über Spline Interpolation was weiter machen und halt Kubische Spline interpolation.
die berechnung von Splines habe ich , also ich meine berechnung von koordinaten. Aber was mir fehlt ist halt, den Algorithmus von CNC Spline interpolator mit vorschubsgeschwidingkeit und bremsweg und was ich noch weiss was dazu noch gehört.
können sie mir vieleicht weiter helfen? ich bedanke mich bei Ihenn und hoffentlich kriege ich ein antwort von Ihnen.
Schön Tag noch

LG Dr-gino

31.03.2009, 15:27

tigerbine

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RE: Kubischer Spline
Das klingt alles zu "anwendungsbezogen". (CNC). Da würde ich eher mal im www.physikerboard.de oder www.informatikerboard.de nachfragen.

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Kubischer Spline

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